AB': AC':: BD : DC
Donc les carrés des deux côtés de l'angle droit sont entre eux comme les segments de t hypoténuse adjacents h ces cotés.
DÉFINITION
On appelle projection d'une droite AB sur une autre CD la portion ab comprise entre les pieds des perpendiculaires abaissées des points A et B sur la droite CD. *
PROPOSITION XII
THÉORÈME
Dans tout trmngle, le carré cCuii côté opposé à un angle aigu, est égal à ta somme des carrés des deu,v autres moins deux fois le rectangle de Cun de ces côtés par la projection du second stu* le premier.
74 GÉOiafVTftlE.
fig. ixo. g^ji Q ^^ angle aigu dans fe triangle ABC ; abaissons AD perpendicuJaire sur BC , je dis qu'on aura :
^ ='ÂCV »C — a BC . CD.
Il y a deux cas : i^ Si la perpendiculaire tombe au dedans du triangle ABC, on aura BD = BC — CD, et
*9 par conséquent * BD'= BC '-4r CD — a BC . CD. Ajoutant de part ej; d'autre AD^ et observant que les triaagles rectangles ABD, ADC, donnent ÂD '+ BD^=ÂB et~ÂD
-h^'=Âc', on aura AB=^'4-ÂC'— 2 BC X CD. a*" Si la perpendiculaire AD tombe hors du triangle
*g, ABC, on aura BD= CD — BC, et par conséquent * BD*=
CD '+ BC — 2 CD X BC. Ajoutant de part et d'atrtre ÂD| on en conclura de même :
AB = BC+AC— aBC x CD.
PROPOSITION XIII
THÉOBBME.
fig. III. Dans tout triangle obtusangle, le carré du côté op" posé à C angle obtus y est égal à la somme des carrés {les deux autres^ plus deux fois le rectangle de Vwi de ces côtés par la projectùm du second sur le premier.
Soit AB le côté opposé à l'angle obtus G du triangle ABC , menons AD perpendiculaire sur BC , je dis qu'on aura :
ÂB =ÂC"+ BC + a BC X CD.
La perpendiculaire ne peut pas tomber au dedans du triangle ; car si elle tombait, par exemple, en £, le triangle ACE aurait à la fois l'angle droit E et l'angle obtus G, ce qui est impossible ; donc elle tombe au dehors , et on a
UVHB HI. 75
BD z= BC 4- CD, De là résulte * BD'=aC -TCD + a BC *8. X CD. Ajoutant de part et d autre AD, et faisant les réductions comme dans le théorème précédent, on en conclura
ÂB = BC ■-t-ÂC'4- 2 BC X CD.
Scolie. Le triangle rectangle est le seul dans lequel la somme des carrés de deux côtés soit égale au carré du troisième; car si Tangle compris par ces cdtés' est aigu, la somme A% leurs carrés sera plus graiide ^ue le carré du côbé opposé; s'il est obtus ^ eUé sera moindre*
PROPOSITION XIV
THBORÈMB.
Dans un moMgle quelconque ABC, si on mène du sommet au milieu de la base la ligne À£, je dis sg. n quon aura AB+ AC = aAE + aliË.
Abaissez la perpendiculaire AD sur la base BC, le triangle A£C donnera par le théorème xii :
"Âc'="AE +ÏC'— aEC X ED.
Le triangle ABE donnera par le théorème xiu :
ÂB'=ÂÈ'4-1b + »EB X ED, Donc, en ajoutant et observant que EB:!r=EC, on aura : ÂB + ÂC = 2 AE + a ÊB *
PROPOSITION XV
THBORàME.
Dans tout quadrilatère la sommé des carrés des quatre côtés est égale à la somme des carres des diagonales, plus quatre fois le carré de, la ligne qui joint leurs milieux.
Soient AC, BD, les diagonales du quadyilàtère ABGD, G et G leurs milieux ;4irons les lignes BO, DOy 0G«
On a.d*aprè5 le théorème précédent :
Dans le triangle ABC , 'ÂB + BC = a BÔV 2 Âo!
Dans le triangle ADC, "^0'+ DC*= a 00+ a"ÂO. Ajoutant f on a :
ÂB + BC +ÂD + DC= 2 (B0'+ DO) + 4 ÂÔ.' Or, dans le triangle BOD, on a :
BÔ'4- DO = a BG'+ a ÔgI Donc 11 + BC'+"ÂdV1>C ==4 BG'+4ÔG'-f-4ÂO'; et comme "ÂC = 4Â0' BD= 4 BC," on a en£n
AB'+ BC '-h IS +"DC = 4 og' -+."85' +Âc! Corollaire, Si le quadrilatère était un parallélogramme^ la droite GO serait nulle ; donc dans tout parallélogramme la somme des carrés des quatre côtés est égale à la somme des carrés des diagonales.
La réciproque de ce dernier théorème est vraie.
Des lignes proportionnel/es et de la similitude. PROPOSITION XVI.
THÉORÈME
Toute parallèle à l'un des côtes dun triangle divise les deux autres côtés en parties proportionnelles.
Soit DE parallèle à la base BC du triangle ABC , et supposons d'abord que les lignes AD, DB, aient une commune mesure qui soit contenue 3 fois dans AD , et a fois dans DB,on a: AD: DB :: 3 : a.
Par les points de division de AB , menons des parallèles à BC, et par les points m, n,E, p^ des parallèles à AB.
Tous les triangles Aqm^ mrn^ etc., sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux.'En efFet, si l'on compare les deux triangles mm, /i^E, par exemple, on voit que les angles mr/i, nsS* sont égaux comme ayant leurs côtés parallèles; de même rmn, 5;»E, sont égaux comme correspondants; enfin les côtés mr, ns^ sont égaux entre eux, comme étant respectivement égaux aux droites ^^D^
L'égalité de ces triangles prouve que krnz==mnz=znS;==i Ep=/>C ; or, AE renferme 3 de ces parties, et EG en contient deux ; donc AE : £C : : 3 : a.
On conclut de là AD: DB : : AE : EC.
Si les lignes AD et DB n avaient pas de commune mesure, on ferait voir comme il a été indiqué (liv. 2, pr. i8), que leur rapport serait toujours égal à celui des lignes AE, EG.
Corollaire I^. De là résulte componendo : AD:AD + DB::AE:AE + AC ou AD:AB::AE:AG et aussi AD + DB: DB:: AE + EC : EG ou AB :DB:: AG:EG.
II. Les segments des deux droites , AB, GD, détermi- fig. ii5. nés par plusieurs parallèles AC, EF, GH, BD, etc., sont proportionnels.
Gar soit O le point de concours des droites AB, GD; dans le triangle OEF, la ligne AG étant parallèle à la base EF , on aura :
