AE.CF:: GE:FH

On prouverait de même que 6E : FH : : B6 : HD ; donc^ etc.

PROPOSITION XVII

THEOREME.

fig. iic. Réciproquement si les côtés AB, AC, sont coupés proportionnellement par la ligne DE^ en sorte qui on eut AD : DB :: A£ : EC , je dis que la ligne DE sera Dorallèle à la base BCL

Car si BE n'est pas parallèle à fiC , supposons que DO en soit une; akars^ suivant le théorème prëoédent, on aura AD : BD :: AO : OC. Mais, par hypothèse , AD^ BD .:: AB : EC ; donc on Mirait AO : OC :: AE : £G; praportî^MFi impossible , puisque d'une part lantëcédent AE est plus grand que AO, et que de l'autre le conséquent EC est pUis petit que OC ; donc la parallèle à BC menée par le point D ne peut différer de DE; donc DE est cette .parallèle,

Sociie. La même conclusion aurait lieu si Ton supposait la proportion AB : AD : : AC : A£. Car cette proportion donnerait AB — AD : AD : : AC — A£ : AE, ou BD ; AD : : CE : AE.

PROPOSITION xvm.

THÉORÈME

î® La bissectrice AD de Fangle A du triangle AÔC, dii^ise la base BC en deux segmenta BD, DC pwpor^ tionnels aux deux côtés AB et AC.

a® La bissectrice AF de l'angle extérieur CAE détermine aussi sur la base pivlongée deux segmentas BF, CF proportionnels aux mêmes côtés AB, AC. • fig. 117. i^ Par le point C menei CE parallèle à AD jusqu'à la rencontre de BA prolongé.

LIVHE IIÏ* 79

Dans le triangle BGE , la ligne AD est parallèle à la base CE; ainsi on a la proportion * : ^i6.