BG : CE::AC: DE

UVBiS lill.

Enfin de ces deux, proportions qui contiennent le même rapport^ BG : CE, on peut conclure aussi : AC : DE:: BA: Cf».

Donc les triangles équiangles BAC, GDE, ont les côtés homologues proportionnels ; donc les triangles ëquiangles BAC , GDE, sont semblables.

Corollaire. Povkr que deux triangles soient semblables il suffit qu'ils aient deux angles égaux chacun à chacun, car alors le troisième sera égal de part et d'autre, et les deux triangles seront éqniangles.

PROPOSITION XX

THÉORÈME

De.ajc triangles qui ont les côtés proportionnels sont ëquiangles»

Supposons qu on ait BG : £F : : AB : DE : : AC : DF , je ^^ dis que les triangles ABC, DEF, auront les angles égaux savoir, A=D, B=E, C = F.

Faites au point E Tangle FE&=:B et au point F l'angle £FG = C^ le troisième G sera égal au troisième A, et les deux triangles ABC, EFG, seront ëquiangles; donc on aura par le théorème précédent BC : £F : : AB : EG : mais, par hypothèse, BC : EF :: AB : DE ; ddnc EG==DE. On aura encore, par le méqfia théorè9i<^9 BC: EF :: AC : FG j or on a, par hypothèse, BC :EF : : AC : DF, donc FG = DF ; donc les triangles EGF, DEF, ont tes trois cdtés égaux chacun à chacun; donc Us sont égaux*. Mais, par construction , le triangle EGF est équiangle au triangle ABC ; donc aussi les triangles DEF, ABC, sont ëquiangles.

Scoïie i: 11 &ut remarquer que les angles égaux des deux triangles sont opposés aux cotés proportionnels.

Scolie II. On voit par ces deux dernières propositions que, dans les triangles, Fégalité des angles est une suite de la proporlionnalité des côtés, et réd{>roquement, de sorte

8l GSOMÉT&IB.

qu'une de œs conditioqs suffit ppnr afl8Ut>er U similitude des triangles. Il n en est pas de même dans les figures çle plus de trois côté^ car, dès qu*ii s'agit seulement des quadrilatères y on peut , sans changer les angles, altérer la proportion des côtés, ou, sans altérer les côtés, changer les angles; ainsi la proportionnalité des côtés ne peut être fig. xai. une suite de Tégalité des an^es, ni tfioe n)trstu On voit, par exemple, qu'en menant ËF parallèle à BG,.les angles du: quacTrîiatère AEFD sont égaux à ceux du quadrilatère ABCn \ mais la proportion des côtés est différente : de même, sans changer les quatre côtés A.B, BG, CD, AD, on peut rapprocher ou éloigner le point B du point D , ce qui altérera les angles.

ScoUe III. Les deux propositions précédentes, qui n'en font proprement qu'une, jointes à celle du carré de l'hypoténuse, sont les propositions les plus importantes «C les plus fiscondes de la géométrie ; elles suffisent prescpie seules à toutes les applications et à k résolution de tous les pro<> blêmes : la raison en est que toutes les figures peuvent- ee partager en trîangkes, et uo triangk quelconque en deux triangles rectangles. Ainsi les proprié^ générales des triangles renferment iniptÎQitement celles de toutes les figures»

PROPOSITION XXI

VH^ORlBMSi

Deiut triangles qui ont tut angle, égal co&ipris entre

. ^diéspropùntionnels ^sont semblables.

fig. laa. Soit .l'angle A = D , et supposons qu'on ait AB : DE : î

AC : DF, je dis que le triangle ABC est semblable à DEP«

Preoes AG'zzs DE et menez GH parallèle à BC , l*an:gle

«a6, 1. ^^H sera éjg^l à Tangle ABC*; et le triangle AGH sera

équiaogle au triangle ABC ; on aura donc A8 :.AGc: AG :

AH : mais, par hypothèse, AB : DE :: AG : DF, et par

ooBstructiott AG =DE, donc AHs DF. Les deux trian«

UVRfi III.

gles AGH^ DEF, ont donc un sngle égal contpris entre côtes égaux; donc i\s sont égaux. Or le triangle A6H est semblable à ABC ; donc DEF est aussi semblable à ABC.

PROPOSITION XXII

THÉOItÈMB.

Deux triangles qui ont les côtés parallèles^ ou quiles ont perpendiculaires chacun à chacun^ sont semblables» En effet, soient A, B, C, les angles de Tundes triangles; A', B', C, les angles de lautre triangle.

On sait que deux angles qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires sont égaux ou supplémentaires.

On ne peut donc faire qu*une des trois hypothèses sui<> vantes :

i'»A + À'=2- B+B' = 2- C + C' = 2% a^^A+A'zrza" B + B'zsa** C=xC';.

3" A = A' B = B\ etpar suiteC==G'.

Or, dans la première hypothèse , la somme des angles des deux triangles serait égale à six droits.

Dans la seconde hypothèse , cette somme serait supérieure à quatre droits.

La troisième est donc seule admissible ; donc les triangles sont équiangles et semblables.

Remarque, Les côtés homologues des deux triangles sont les côtés parallèles ou perpendiculaires.

PROPOSITION XXIII

THBORSlfS.

DeuJb polygones semblables peuvent être décompo^ ses en un même nombre de triangles semblables chucun à chacun et semblablentent disposés.

Dans le polygone ABCDE , menez d'un même angle A Hg. la^.

SA G£OMKTRl£.

les diagonales AC, ÂD aux autres angles. Dans lautre polygone FGHIK, menez semblableinent de Tangle F homologue à A, les diagonales FH^ FI aux autres angles.

Puisque les polygones sont semblables, l'angle ABC est égal à son homologue FGH , et de plus les côtés AB, BG, sont proportionnels aux côtés FG, GH; de sorte qu'on a AB : FG : : BC : GH. Il suit de là que les triangles ABC, FGH, ont un angle égal compris entre côtés proportionnels ; donc »ai. ils sont semblables *; donc l'angle BCA est égal à GHF. Ces angles égaux étant retranchés des angles égaux BCD, GHI, les restes ACD, PHI seront égaux : mais puisque les triangles ABC, FGH sont semblables, on a AC:FH: :BC:GH; d'ailleurs, à cause de la similitude des polygones, BC: GH: :CD:HI; donc AC:FH: :CD:HI: mais on a déjà vu que l'angle ACD=FHI; donc les triangles ACD,FHI, ont un angle égal compris entre côtés proportionnels,. donc ils sont semblables. On continuerait de même à démontrer la similitude des triangles suivants, quel que fût le nombre des côtés des polygones proposés; donc deux polygones semblables sont composés d'un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés. '

Scolie. La proposition inverse est également vraie : Si deux polygones sont composés éCun même nombre de triangles semblables et semblablement disposés , ces deux polygones seront semblables.

Car îa similitude des triangles respectifs donnera l'angU; ABC=FGH, BCA=:GHF, ACD==FHI; donc BCt)=GHI, de même CDE=HIK, etc. De plus, on aura ABiFG: :BC: GH: : AC:FH: :CD:HI, etc.; donc les deux polygones ont les angles égaux et les côtés proportionnels; donc ils sont semblables.

PROPOSITION XXIV

THÉOEEME.

Les lignes AF, AG, etc. , menées comme on vou-