LIVRE III

ira par le sommet et un triangle y dis^isent proportion'nettement la ba,^ BC et sa parallèle DE, de sorte qiCon £iDI:BF::IK:FG:: KL : GH, etc.

Car, puisque Dl est parallèle à BF, le triangle ADI est fig.iaS. équîangle à ABF, et on a la proportion DI:BF :: AI: AF ; demêmelKétanj; parallèle à FG, on a AI:AF:: IK:FG; donc, à cause du rapport commun AI : AF, on aura DI : BF ::1K:FG. On trouvera semblablement IKiFGitKL: 6H, etc.; donc la ligne DE est divisée aux points I, K, L, comme la base BC lest aux points F, G, H.

Corollaire. Do§c, si BC était divisée en parties égales aux points F, G, H, la parallèle DE serait divisée de même ^n parties égales aux points I, K, L.

PROPOSITION XXV

THBOBBME.

Si de Fangle droit A d'un triangle rectangle on gg, „6 abaisse kl perpendiculaire AD sur t hypoténuse:

I® Les deux tricuigles partiels ABD , ADC , seront semblables entre eux et au triangle total ABC ;

2^ Chaqtœ côté AB ou AC sera moyen proportionnel entre Fhypoténuse BC et le segment adjacent BDof/DC;

3** La perpendiculaire AD sem moyenne propor» tionnelle entre les deux segm,ents BD, DC.

Car', 1® le triangle BAD et le triangle BAC ont Tangle commun B ; de plus, Tangle droit BDA est égal à langle droit BAC ; donc le troisième BAD de l'un est égal au troisième C de Vautre ; donc ces deux triangles sont équiangles et semblables. On démontrera de même que le triangle DAC est semblable au triangle BAC ; donc les trois triangles sont équiangles et semblables entre eux.

a** Puisque le triangle BAD est semblable au triangle

86 GBOMiTRIE.

BAC, leurs côtéa homologues sont proportionnels, Qr, le le côté BD dans le petit triangle est homologue à BA dans le grand, parce qu'ils sont opposes à des angles égaux, BAD, BCA; l'hypoténuse BA du petit est homologue à Thypo^ ténuse BG du grand; donc oh peut former la proportion BD:BA :: BA:BG. On aurait de la même manière DC: AC :: AG : BC i donc, a*"- chacun des côtés AB, AG, est moyen proportionnel entre Thypoténuse et le segment adjacent à ce coté.

y Enfin, la similitude des triangles ÀBD, ADC, donne, en comparant les cotés homologues, JU); AD:: AD:DG; donc, 3"" la perpendiculaire AD est moyenne proportion* nelle entre les segments BD, DG de l'hypoténuse.

Scolie. La proportion BD: AB :: AB: BC donne, en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, AB==BD X BC. On a de même Âg'=DC X BC, donc ÂB+ÂË=BD x BC+DCxBC; le second membre est la même chose qiie (BD-4-DG)xBC,etnse réduit à BCxBCou BC; donc on a AB 4.AG=BC ; donc (en se fondant sur la mesure du carvé) le carré fiiit sur l'hypoténuse BC est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés AB, AC. Nous retombons ainsi sur la proposition du carré de l'hypoténuse par une voie très-difiérente de celle que nous avions suivie; d'où l'on voit qu'à proprement parler la proposition 'du carré de^Thypoténuse est une suite de la proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles. fig. 127. Corollaire. Si d'un point A de la circonférence on mène les deux cordes AB, AC, aux extrémités du diamètre BC, 19. a. le triangle BAC sera rectangle en A* ; donc, i" la peipendi'eulaire AD est moyenne proportionnelle entre les deux segments BD, DG, du diamètre^ ou , ce qui revient au même, le carré AD est égal au rectangle BD X DG.

a*" La corde AB est moyenne proportionnelle entre le dia* mètre BC et le segment BD^ ou , ce qui revient au même.

LIVKB III. 97

ÂBnBDxBGw^On a seinUaibleineDtÂG=GI)X>BGçd]Dnc AB':ACïrBD:DC; et si on compare ÂÏ'îl\B(C,'o^ aura AB: ÏC': : AD:DC ; on aurait, de néme Âc': BC : : DC : BC. Ces rapports des carrés des certes , soit entre eux , soit avec le carré de l'hypoténuse , ont été déjà donnés dans les eoroi. III et lY de la propos, xi.

PROPOSITION XXVI

THBOREIIB.

DeiLV triangles qui ont un angle égal sont entre eux comme les rectangles des côtés qui comprennent Fangle égal-. Ainsi Le triangle ABC est au triangle fig. la». ADE comme le rectangle AB x AC est au rectangle ADxAE.

Tirez BE; les deux triangles ABB, ADE, dont le sommet commun est E, ont même hauteur, et sont entre eux comme leurs bases AB,AD*; donc, *^-