DEF~DE ^ DE~5Ê

PROPOSITION XXVIII

THÉORÈME

Les contours ou péimètres des polygones semblables sont comme les côtés homologues^ et leurs surfaces sont comme les carrés de ces mêmes côtés. 6g. lag. Qjjj,^ jo puisqu'on a, parla nature des figures semblables, AB:FG::BC:GH::CD:HI, etc., on peut conclure de cette suite de rapports égaux : La somme des antécédents AB+ BC]+CD, etc., périmètre de la première figure, est à la somme des conséquents FG+GH+HI, etc., périmètre de la seconde figure, comme un antécédent est à son conséquent, ou comme le côté AB est à son homologue. FG.

a" Puisque les triangles ABC, FGH sont semblables, on

* ' '• a * ABC : FGH :: AC': FH*; de même les triangles semblables ACDjFHI donnent ACD: FHI::"ÂC:FH- donc, à cause du rapport commun ÂG : FH, on a

ABC:FGH::AnD:FHI.

.LIVRK III. «89

Par un raisonnement semblable on trouverait ACD:FHI::ADE:FIK;

et ainsi desuite, s'il j avait un plus grand nombre de triangles. Qe cette suite de rapports égaux on conclura : La somme des antécédents ABC4- ACD+ ADE, ou le polygone ABCDE, est à la somme des conséquents FGH+FHI+FTK, ou au polygone FGHtK, comme un antécédent ABC est à

son conséquent FGH, ou comme AB est à F6 ; donc les surfaces des polygones semblables sont entre ellescomme les carrés des côtés homologues. - - ■

Corollaire, Si on cohstruit trois figures siemblables dont les côtés homologues soient égaUz auk trois côtés d'un triangle rectangle, la figure faite sur le grand côté sera égale à la somme des deux autres : car ces trois figures sont proportionneHes aux carrés de leurs côtés homologues ; or, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés 'des deux autres côtés ; donc, etc.

PROPOSITION XXIX

THBORSMB.

Les parties de deu,v cordes AB, CD, qui se coupent ^s- '-^odoiis un cercle j sont réciproquement pwportionnelle s ^ cest-à-dire qu'on a AO ; DO : : GO : OB.

Joignez AC et BD ; dans les triangles ACO^BOD^les angles en O sont égaux comme opposés au sommet ; l'angle A est égal à l'angle D, parce qu'ils sont inscrits dans le même segment^; par la même raison,rangle C=B; donc ces tria n- •'9, a., gles sont semblables, et les côtés homologues donnent la proportion AO: DO :: CO : OB.

Corollaire. On tire de là AO X 0B= DO xCO : donc le rectangle des deux parties de l'une des cordes est égal au ' rectangle des deux parties de l'autre.

90 GÉOMBTRIE.

PROPOSITION XXX

THBORBME.

fig. i3i. Si ffiin même point. O , pri^ hors du cercle , on mène

les sécantes OB , OC , terminées à Fore concave BC,

les sécantes^ entières seront réciproquement propor-

^ tionnelles à leurs parties extérieures^ c' est-a^dire qti on

aura OB : OC : : OD : 0\.

Car, en joignant AC,BD, le9 triangles 0AC,OBD> ont *i9«3. Tangle O commun^ de plus 1 angle fi=C^; donc ces triangles 5oi)t semblables ; et les côtés homologues donnent la proportion