LIVRE fV. |a

Car le secteur ACB est «u cercle eoUer comme lare

AMB est à la circonférence entière ABD% out oorame *pr. x8,

AC AMB X iAC est à ABD x — . Mais le certie entier

= ABD X |AC; donc le seétenr ACB a pour mesure AMB X |AC.

Application. Soit AC= i a"^ et supposons que Tare AMB renferme 6o^. Pour trouver la longue«r de cet arc, on posera la proportion

arc AMB ; âicR ::6o: 360| ,

■1. > ATiiT» 2icRx6o ir.R W.I2

dou arcAMB = -^g^ = -^ = -5-=4ic,

on a donc sect, ACB = 4^ x 6 = a4w = 75"-*-,396o.

PROBÙMES SUR LES POLYGONBS ^ÉGUUBRS ; DBTBRMUVATIOIV DU RAPPORT DE LA CIRGOIfPBRENCE AU DIAMETRE.

PROPOSITION XVI

PROBLEME

Connaissant le côté kh dun polygone régulier inscrit, et le rayon OC du cercle, calculer le côté AC du po^ lygpne régulier inscrit dun nombre de côtés double.

1 ^4 GfiOMBTRlK.

Soient AB=^a, OG=:=R et AG=o; tirons AD et AO, on a dans le triangle rectangle CAD :

ÂC'=CD X CI, ou c»2= aR X Cl;

or, CI=:CO — OI = R— 01;

d'ailleurs on a dans le triangle rectangle AOI

01 =l^R'— Âî = y/r3^ ; donc C1=R — y/r* — ^,

et par suite c»=r2R X Tr — y/ R* — —Y (i)

Réciproquement, on peut se proposer de calculer a connaissant c; et il faudra alors résoudre Téquation (i) par rapport à a ; on obtient ainsi :

Pour faire application de la formule (i), supposons que a soit le côté de Thexagone et que par conséquent a=R , on aura pour le coté du dodécagone régulier inscrit :

c = \/aR/'R-\/R*-y")= v/^r7^^^=RV/^mP1

Pour appliquer la formule (2) , prenons c égal au côté du décagone ^ et cherchons le côté du pentagone régulier.

On a c= — ^ -^ on en conclut :

d'où a=— l/io — 2V^5.