LIVRE IV. latS
Remarque. En ajoutant le carré du rayon avec le carré du côté du décagone, on trouve que la somme
est égale à — ^ — . — -j c est-à-dire au carré du côté du
pentagone régulier. Ainsi
Le coté du pentagone régulier InscrU serait l^hypoténuse fVun triangle rectangle qui aurait pour côtés de [angle droit ^ le rayon et le côté du décagone.
PROPOSITION XVII
PROBLÈME
Cjonnaissant le côté (F un polygone régulier , et le fig. 169. rayon du cercle circonscrit^ tmuver le côté du poly^ ffone ^circonscrit semblable.
Soient AB=a, CA=RetEF=a:.
La similitude des triangles ECF, ACB, donne la proportion EF : AB : : CE : CA;
mais on a aussi CE : CA : : CM : CD ; donc, à cause du rapport commun,
EF : AB ; : CM : CD ou j; : a : : R : CD (i);
on a d'ailleurs dans le triangle rectangle ACD,
CD=: y/cÂ'— AD= v/r'— ~;
donc j::fl::R:v R* — j>
SLOK
et par suite a:s=— *===== •
1 a6 GlioM STRIE.
PROPOSITION XVIII
FROBLSMS.
Connaissant le côté AB (F un potjgone régulier de m côtés , et le rayon C A du cercle circonscrit^ trouver la surface de ce polygone.
fig. i6o. Soîeiït ABi=a, t!A=:R et S la surface du polygone.
♦ pr 7. On a* :
S=/wax— ; or CD=v/R'-y=-V/4R"— ûN
donc s^»»al/4R'-.-. j
Application. Cherchons la surface de l'hexagone régulier. On a A = R , w = 6 ; donc
^ 6RI/4R— R* Wi^^
^ g^ Remarque. On pourrait aussi, au moyen des méoies données, calculer la surfaoe du polygone régulier inscrit de 2m côtés.
En effet, soit M le milieu de Tare AB, et tirons AM j la surface du polygone cherché (que nous désignerons par S') se compose de 2^/1 triangles égaux à ACM. *
Or, .ACM=:=CMx^ = 5^;
j -# RXa wRa
donc S=llwx— r-= — -•
Cherchons comihe application |a surface du dodécagone
régulier inscrit; on |k
a = R, iwr=:6, doù S'=— = 3R».
LlVRt IV.
PROPOSITION XIX
Étant donnés le rayon CD = R, et V apothème CA = r ttun polygone régulier^ calculer le rayon R' et V apothème r dun polygone régulier isàpérimètre dun nombre double de côtés.
Soit BD le côté du polygone régulier donné , et C le centre de ce polygone. Prolongeons Tapothème CA jusqu à sa rencontre en I avec la circonférence circonscrite, et tirons les droite9 BI, DI; Bip sera langle au centre du polygone cherché; car il est la moitié de BCD. Si de plus on abaisse GK perpendiculaire sur BI , et qu on mène KE parallèle à BD ; KE sera la moitié de BD , et représentera le côté du nouveau polygone; IK en sera le myon, et HI r apothème.
lA CI + CA
Or, on a
ou
r'rr:
Enfin dans le triangle xectangld GKI i 4Hi a
iie'=icxiH, où R'=i/^"Ry = v/Rx^-5±!5.
Scolïe.'ïi e«t facile de voir, soît par îa figure, soit par I^s formule^, que r'est |)laâ gfànd que /*, et qtt^axt cdhtraire R' est moindre que R; de sorte que dan^ le nouveau po-
1^8 GKOHÉTRIE.
Ijgone la différence entre le rayon et lapothème est moindre que dans le premier.
Si Ton transformait de la même manière le second polygone en un troisième^ puis le troisième en un quatrième, et ainsi de suite^ on parviendrait à un polygone dans lequel la différence entre le rayon e( Tapothènie serait moindre que toute grandeur donnée.
En effet, dans le triangle BCA, an a
BC — CA < BA ou R— r < BA; mais BA est la moitié du côté du polygone, et ce côté peut être rendu plus petit que toute grandeur donnée, quand on double indéfiniment le nombre des côtés i donc aussi R — r peut devenir plus petit que toute quantité assignable.
PROPOSITION XX
PROBLÈME
Tmuifer une valeur approchée du rapport de ta circonférence au diamètre.
On a vu plus haut que :
cire. R=:air.R, et que cerc R=7çR»;
on en déduit
circ.R . X ^ cerc.R
^==-^. (1) et ^=^-Rr-' W
De là résultent quatre méthodes pour trouver la valeur de w.
Car si Ion considère la formule (i), on peut, connaissant la longueur de la circonférence, calculer le rayon , ou bien , connaissant le rayon , chercher la circonférence. Et si Ton emploie la, formule (a), on peut se proposer, connaissant le rayon, de trouver la surface du cercle; ou bien^ connaissant Taire d'un cerclç, de calculer le rayon.
LivRB IV. lag
Nous n'éxposeroDS ici que la première méthode (*), et nous nous proposerons , par exemple , de calculer le rayon d*une circonférence dont la longueur serait 4*
Construisons un carré y et prenons le côté de ce carré pour unité, le périmètre sera 4*
Soient R et r le rayon et Tapothème de ce carré, on a : gg. g^i.
Maintenant ce carré peut être transformé en un octogone régulier de même périmètre, et en appliquant les formules du problème précédent, on trouvera pour le rayon et Tapothème de cet octogone :
On calculerait de même les rayons R,^ r, du polygone régulier isopérimètre de i6 côtés ; et en continuant ainsi, on arriverait à un polygone dont le périmètre serait toujoiu*s 4 y et dont les rayons R., r« différeraient d aussi peu qu'on voudrait.
Or les circonférences décrites avec R. et r. sont Tune plus grande , Fautre plus petite que 4 9 1® rayon de la circonférence égale à 4} est donc compris entre R. et r., et peut être obtenu avec telle approximation qu'on voudra.
Si les rayons R.,r. sont évalués en décimales, il est évident que les décimales communes appartiendront au rayon cherché.
(*) Les deux dernières méthodes sont exposées dans le texte de Lcgendrs , qui se trouve à In fin de Touvragc.
GiouimiM.
Voici le tableau des valeurs sucoessÎTes du rayon et de 1 apothème 9 dans les polygones de 4? 89 16. • • «8192 côtés.
NOBiBRE
APOTHÈMES.
RATOnB.
DB9 CÔTSS.
Ti = o,5oooooo
fa = 0,6035534
Rs s= 0,640^89 R4 = 0,6376435
fb =: o,636io83
Bs = o,6366a37
ioa4
rg = o,6366i77
R9 =r o,6366ao7
rtd= o,6366r99
rn= 0,6366195
Rxi=s 0,6866197
Ritfs= 0^6366196
Ainsi une circonférence égale à 4 ^ ,pour rayon 0,6366196 d*où il résulte que le rapport de la circonférence au diamètre, vaut
40U00OO0 — Q iXr'înafi
Aichimède avait trouvé ^- pour valeur approchée de w; Metius a trouvé pour le même nombre , la valeur beaucoup plus approchée fff.
Liyjftp IV, i3i
imiiiOtrii mmapassu9aamxsaw=m:mfs^BBS3^m^ffaff;=^;;9ç^
APPEJVDICE Ay UVRJE )[y.
BSFINlTiaiTS.
I. On appelle maximwn la quantité la plus grande entre toutes celles de la même espèce ; minimum la plus petite.
Ainsi le diamètre du cercle est un maximum entre toutes les H^és <fui joigtfèrffiâeuK points de la dprcotrférmioe^ ^ lA perpenëitHlaire est '«m mimi&iitm enire tomes ks drotlês metKes d^un pmm âotmé ànMU&'4ipiekiminÂe.
91. tto ap^lhfr'flglwrËs tsoperimêtm» m^Més ^ cttit«iles *périmètres égaux.
PROPOSITION I
TH^ORiMJI.
De tous les triangles formés avec deux côtés donnés faisant entre eux un angle à volonté y le maximum est celui dans lequel les deux côtés donnés font un angle droit.
Soient les deux triangles BAC, BAD, qui ont le côté AB commun, et le côté AG = AD ; si Tangle BAC eçt drojit, je dis que le triangle BAC sera plus grand gue le.triai^gle.BAD, dans le{|uel Taille en A est a^gu ou obtus.
Car la ba$e AB étantla même , les deux^ trvm^les BAC , BAD , sont comme les hauteurs AC, DE : maisja pe^pendieyilaire DE est plus courte que l'oblique AD ou son égale AC;.donc le triangle BAD est plus petit que BAC.
PROPOSITION II
^ . . THÉORÈME.. • / .,
I Le cercle est plus grand que tokte figure plane hopérimètre,
- i^ n est d'abord évident qu'il y a une infinité de figures d'un
fig.174.
l33 GlSOMiTRIE.
périmètre donné, qui ont diverses formes et diverses aires; mais on' voit aussi que ces aires «e peuvent croître indéfiniment.
Il y a donc parmi les figures d'un périmètre donné un ou plusieurs maj&imum. ' . ^ .
a^ Toute figure qui renferme une aire mâximom dans un périmètre donné est convexe. ^
nôp
Car soit AMBN une ligne fermée non convexe^ si Ton fait tourner la partie rentrante AMB autour des points A et B, de manière qu'elle occupe la position AJMfBf la figuxe AM'BN aura même périmètre que la première , et renfermera une aire plus grande.
3^ Soit âMBN une figure maximum sous un périmètre donné ; je dis que toute droite Â.B qui divise le périmètre en deux parties égales , divisera aussi Taire en deux parties équivalentes ; car si la portion ANB était plus grande que AMB , en faisant tourner ANB autour de AB, de manière qu'elle occupe la position AN'B, la figure AN'BN aurait le même périmètre que AMBN, et aurait une aire plus grande. AMBN ne serait donc pas un maximum.
Il résulte encore de ce qui précède que si AMBN est une figure maximum, AN'BN en est aussi une; et l'on voit que dans cette dernière figure, toute perpendiculaire NN' à AB est divisée par cette ligue en deux parties égales, de sorte que les triangles ANB, AN'B sont égaux.
tIVRE IV. i33
Cela posé , si les angles ANB, AN'B n*étaiept pas droits , on pourrait agrandir simultanément l'aire des triangles ANB, AN'B, sans rien changer à la grandevr des côtés AN, NB, AN', 19% ni à la grandeur des segments APN, NQB , AP'N'^ N'Q'B; la l)ase commune AB changerait seule ; mais par là l'aire de la figure deviendrait plus grande, sans que le périmètre changeât^ ce qui est contraire à l'hypothèse; donc les angles N, N' sont droits; d'ailleurs le point N est qnalçoiiqne sur la courbe ANB; donc cette ligne est une demi-circonférence.
Ainsi Ton voi^ que si une droite divise la figure maximum en deux moitiés^ chacune de oes moitiés sera un demi-cercle ; donc la figure entière est un oerele,
PROPOSITION m.
TBiÉOHin.
Parmi toutes les figures planes qui ont la même aire^ le cercle a le plus petit périmètre*
Car si une figure quelconque dont l'aire est A, avait un périmètre moindre que le cercle ayant la même aire , on pourrait , d'après le théorème précédent v, la transformer en un cerclé de même périmètre^ et d'une aire B>> A. >
Ce second oerck attrait donc une aire plus grande que le premier, et un périmètre moindre, ce qui est abskrdé.
pROPosrrioN iv.
LEXME. '.-,..
Tout polygone ABCDË qui contient un angle rentrarft^ peut ère transformé en un polygone convexe^ d'une sur/ace plus grande ayant le même périmètre et un côté 4e moins!
r34 GÉOMÉTRIE.
Car sî l'on prolonge AB, ef qu'on joigne tous les points de ce prolôngen^ent an point D, la son^me BI -f- ID croîtra d'une maiifière^ontibué depuis BD jusqu'à l'^fini. IF y a donc nn pomt ï où !W a fil 4- ÏD = BC 4- CD.
On obtient donc un polygone ABIDË, évidemment plus grand qiie ABCDfi, qtii a le méfie périmètre, et ûnr côté de moins.
*i'' ' PROPOSnttON T. : ■• ^i'^*-
jQe pH¥, 1$$ pQlTfpmt isopétimèp^f et d'um méi^ nombre de cdiés^ie pofy-gone régulier est le plut, grondé >.
Nous allons prouver successivement que si un polygone n'a pas tous ses côtes égaifx^ aCfos angVqf^. égaux, il ne peut être maximum panni les isopérimètres d'un même nombre de'côtés.
, . i^ Supposons tqa« le polygone ilBCDB aat ai o6téS} et aoit AB-<BC. Prenons sur BO le point MflMea fnrèsdeC papr»qu'on ait ,eiricov^ ^B <: BM. ]f aiions ensuite» l'ange iiMB' »^B AM ;) prenons MB'=AB .«t joii^iis, Afi'. Le. triangle. ABif (est; é|;ai au triangle AB'M.
On conclut de là qu^ l'qnpqDBTIiM 9» polygone ABCDE substituer le polygone AB'MCDE, sans changer le périmètre ni la surface; seulement ce nouveau polygone aurait wt-Hi côtés, et de plus un angle rentrant; car AB étanf^ plu^ petit <^ye BM, on a Tariglé BMA<bAM ou B'MA.
Or ce polygone peut être transformé en un autre de m côtés , de même périmètre, et d*urie surface plus grande ; donc ABCDE ne serait pas le plus grand parmi les isopérimètres de m côtés.
2** Supposons que dans le polygone ABCDH de m côtés , on ait l'angle A>>B. Prenons un point M assez voisin de B pour que l'angle MAH soit plus grand que AMC.
Faisons aussi l'angle MAB'=AMB, prenons AB' = MB et joignons MB'; le triangle MAB' est égal à ABM; et le polygone
UVRK IV. i35
AB'MCDH a même surface et même périmètre que ABCbH; mais il a /w 4- 1 côtés, et un angle rentrant; car AMG+AMB étant égal à 2 droits, on a MAH + MAB' >• a droits.
Donc ce polygone pourrait être transformé en un autre de m côtés, de même périmètre, et d'une aire plus grande; donc enfin ABCDH ne serait pas maximum.
PROPOSITION VI
De tous les polygones d'égale surface^ et d'un même nombre de côtés, le polygone régulier a le moindre périmètre.
Car si un polygone irrégulier de m côtés, dont Taire est A, avait un périmètre moindre que le polygone régulier de même aire, et du même nombre de côtés , on pourrait le transformer en un polygone régulier isopérimètre de m côtés, ayant une aire B>> A; ce second polygone régulier aurait donc le même n<Mnbre de côtés que le premier, avec un périmètre moindre, et une aire plus grande , ce qui est absurde.
PROPOSITION vn.
THiomiMB.
De deux polygones réguliers d'égal périmètre, celui qui a le plus de côtés est le plus grand,
|36 GÉOMl^TRIE.
En e(Tet soit ABGDEF un polygone régulier de 6 côtés. Si Ton prend on point I sur Tun des côtés , on peut considérer ce polygone comme un polygone irrégulier de 7 côtés , dans lequel les côtés IC, ID feraient un angle égal à deux droits; or ce polygone est moindre que le polygone régulier de 7 côtés et du même périmètre ; donc, etc.
