THÉORÈMES A DÉMONTRER

I. La figure qui a pour sommets les milieux des côtés d'un quadrilatère, est un parallélogramme.

a. Si d'un point pris dans l'intérieur d'un triangle équilatéral> on abaisse des perpendiculaires sur les trois câtés, In somme de ces perpendiculaires est constante. (Examiner ce que devient le théorème quand le point est extérieur au triangle.)

3. Par le point de contact A de deux cercles tangents, on mène deux sécantes quelconques BB', CC : prouver que les droites BC VC sont parallèles.

4. Dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, la somme de deux côtés opposés est égale si la somme des deux autres. (La réciproque est vraie.)

l38 GéOM^TRlfe.

5. Oo suppose le cercle O tangent aux deux côtés de l'angle Ay puis on mène une tangente BEC terminée aux deux côtés de l'angle : prouver, i° que le périmètre du triangle ABC est constant, quel que soit le point de l'arc MEN par lequel on mène la tangente.; a^ que l'angle BOC est constant.

6. Si on joint deux à deux les pieds des trois hauteurs d'un triangle, on forme un nouveau triangle dans lequel les bissectrices des angles sont |^ (laat^qrs du premi^.r tri^^gle.

7. Les pieds des hauteurs d'un triangle et les milieux des troU cù^éfk ^ç(lfkt sur une ménie circonférence,

8. Étant donné un quadrilatère, si r<)p fli^pp des cercles tangents ^ trois côtés pon^^çutifs, les centre^ des quatre cercles qu'on obtient ^insi fofa)ent un quadrilatère iqscriptil)]e.

g. I^es bissectrices fies 9^gles fprv^^ç par les côtés opposés d'un quadrilatère in9cripti))l^ ^ ço^^pept ^ an^le droit.

10. Si d'un point quelconque du cercle circonscrit à un triangle, on abaisse des perpendiculaires sur les trois côtés, les pieds de ces perpendiculaires sont en ligne droite.

11. On construit sur les deux côtés AB', BC d'un triangle ABC, les parallélogrammes quelconques ABFE, BCDL; on prolonge EF et LD jusqu'en O, et on tire OB; enfin on construit sur AC un parallélogramme dont le côté adjacent çst écal et p^paljèle à OB : démontrer que ce parallélogramme ^st ecjuivalent à la somme des deux autres. (Enjdéduire comme conséquence le carré de rhypQténpse.)

la. Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point.

i3. Les lignes qui joignent les sommets .d'un triangle aux milieux des côtés opposés se coupent en un même point.

14. Le point de concours des hauteurs d'un triangle, le point de concours des médianes, et le centre du cercle circonscrit,