LIVRE ▼• l5l

Pareitleriiënt^ il est iitipossîl>le d'abaisser d'un point hors d*un pkn, dMK perpemliculaires à vt plan; car soient AP, ÂQ ces deux perpendiculaires; le triangle APQ aurait deux angles droits, ce qui e$i iinpossible.

PROPOSITION VI

T&BOREME*

Par un point on peut mener uh pian perpendicur iaire à une droite , et on n'en peut mener q^un seul,

V* Supposons que le pomt dofinë G ^oit ^ttuë sur |a di<oîte AB. MepoD$.devix,plaD« pac AB, e£ dan« ces pfens élevons CD et CE pespendiculaii^es sur la ligne AB. Le plan MD , conduit suiyavft ces deux droîtes , sera évidemment perpendiculaire à AB.

fig.i83.

Maintenant aucun autre plan MH, passant par le point G, ne peut être perpeoidiQulaire à AS ; car ai èela pouvait avoir lieu> un plan quelconque conduit par la ligne AB ooupé^ rait MD et Ml) suivant deux droôts GN, CG qui seraient toutes deux perpendiculaires, à AB, au ro^me point ist dans le néme plan , ce qui est impossible*

^.52 GlÉOMltrBIE.

; , . ^'^ Supposons le point domié G situé hors de la droite AB. Abaissons CD perpendiculaire sur AB, et dans un plan passant par AB, élevons DE perpendiculaire sur cette droite. Le plan MN, conduit suivant les deux lignes CD, DE, sera perpendiculaire à AB,

Enfin aucun autre plan MP, passant par le point C, ne peut être perpendiculaire sur AB ; car si cela avait lieu , le pian ABC couperait le plan MP suivant une droite CG différente de CD^; on pourrait donc, du point C, abaisser deux perpendiculaires sur AB*

Corollaire. Toutes les {^^rpendieulaires, BG, BD, BE, élevées en un point Bdela ligne AB, sont dans un même plan perpendiculaire à cette droite.

' En «ffet, le plan MN conduit par les deux lignes BC, BD, est perpendiculaire sur AB; il suffit donc de prouver que ce pian contient toutes les antres 'perpendiculaires. Or si BE n'était pas dans (e plan MN, le plan mené par les deux droites AB, BE, couperait MN suivant la droite BH ; et on aurait au même point et dans un même plan deux lignes BE, BH perpendiculaires sur AB.

* Le poÎQt G ne peat se confondre avec le point D, puûqne, d'après le premier cas , on ne peot mener p«r nu point d*uQe droite qu*nn seul pUn pcrpendienlaire à cette droite.

LIVAE V» l53

PROPOSITION VIL

THEOREME.

Si if un point A, Iiors diiplan MN, on mène la per^ pendiculaire AP et les obliques AD, AC, AE,

i^ La perpendiculaire est plus courte que toute oblique.

a** Les obliques également éloignées de la perpen^ diculairey sont égales.

3** De deux obliques inégalement éloignées du pied de la perpendiculaire y celle qui s* en écarte le plus est la plus grande.

1° Le triangle APC est rectaiigle en P, et par suite, fig.i84« l'oblique AG, opposée à Tangle droit,^ est plus grande que la perpendiculaire AP.

2^ Les angles APC, APD étant droits, si Ion suppose PC=PD, les triangles APC, APD auront un angle égal compris entre côtés égaux; donc ils sont égaux, et Ton aura AC=AD.

3'' Si la distance P£ est, plus grande que PD; prenons PB=;r P13 ^ jpignonç AB ; on aura AB= Ai). Or AB est plus petit que AE *, donc AD est plus petit que AE. * «7, ».'

Corollaire* Toutes les obliques égales AJB, AC, AD, etc., aboutissent à la circonférence BCD, d^critedu.pied de. la perpendiculaire^ P comme centre ; donc étant donnp un point A hors d'un plan , si on veut trouver sur ce plan le point P où tOQiberait la perpendiculaire abaissée de A , il faut marquer sur ce plan trois points B, C, D, également éloignées du point A, et chercher ensuite le centre du cerqle gui passe par ces points; ce centre sera le point cherché P.

PROPOSITION VIII

THÉORÈME

Eg.iss. SoitkP ime perpendiculaire au plan MN et BC une ligne située dans ce plan; si du pied V de la perpendi-cuhnre on abaisse Vïi perpendiculaire sur BC, et quon joigne AD,y^ dis que AD sera perpendicuhnre à BC

Prenez DB = DC, et joignez PB, PC, AB, AC : puisque DB=t)C, l'oblique PB==PC; et par rapport à la perpen- ♦ 7 diculaire AP, puisque PB=PC, Toblique AB = AC*; donc la ligwè AD a deux de ses points A et D également distants d«s extrémités B «t C; donc AD >èst pôlrpendicu-' laire sur le milieu de BC.

Corollaire. On voit en même temps que BC est perpendiculaire au plan APD, puisque BC est peipendioulsire à la fois aux deux droites AD, PD.

PROPOSItlON IX-

THÉORÈME

lig. 186* Si la ligne AP ^st perpendiculàiTe au plan MN , toate ligne l>E parallèle ^ AP sera perpendiculaire au mente plan.

Suivant les parallèles AP, DE, conduisez un plan dont rintersection avec le plan MN sera PD ; dan$ le pfâti MN menez BC perpendiculaire à PD, et ji:>ig[nez AD.

Suivant le corollaire du théorème • précédent, BC est perpendiculaire au plan APDE; donc l'angle BDE est droit : mais langle EDP est droit ausrf , puisque AP est ^pendiculaîre à PD, et que DE est parallèle à AP ; donc la ligne DE est perpendiculaire aux deux droites DP, DB ; donc elle est perpendiculaire à leur plan MN.'

Corollaire L Réciproquement si les droites AP, DE sont

LlVIgÊ V* l5$

pef peyrdiculaires au plan MN, elteà seront parallèles , car si elles ne I étaient pas, condnisev pat le point D nne pa* rallèle à AP, cette parallèle sera perpendiculaire au plan MN ; donc on pourrait par un même point D, élever deux perpendiculaires à un même plan, ce qui est imposable ^. * s.

Corollaire IL Deux lignes A' et B, parallèles à uue troisième C, sont parallèles entre elles ; car imaginez un plan perpendiculaife à la ligne G, les ItgMs A et B, parallèles à cette perpendiculaire, seront perpendiculaires au même plan ; donc par le corollaire précédent, elles seront parallèles entre elles.

Il est entendu que les trois lignes ne sont pas dans le même plan , sans quoi la proposition serait déjà connue.

PROPOSITION X

THéoBÈMB.

Par un. point k gn ne peut mener dans Cespace fig.iSa. qu^ une parallèle à la ligne CD.

Car une parallèle à CD menée par le point A, est située dans le plan qui passe par ce ponit et |iar la droite CD; et Ton sait que dans un plan on ne peut mener par un point donné qu'une seule paratMIe à WAe droite.

PROPOSITION XL

Si la ligne AB esi parallèle à une iiroiêe CD menée fig.iS7. dans ie pliUiJIIM, die sera paraUèie à ce pian.

Car si la iignfe AB, qui est dans le plan AUCD, rencontrait le plan MN,'<^e ne pouitait être qu'en quelque point de la li^ne CD, intersection commune des demis ftttn^ : br, AB Me peut rën]cotitrerCD,'puiM(u'dle kii est •paraMèiift ; donc elle ne rencontrera pas non ptuto le plutn MN ; donc elle est parallèle à ce plan *. -■*'*%. déf.

J 56 GISOHiTRIE.

Corollaire L Si une droite AB est parallèle au plan MN, tout plan ABCD mené par AB^ coupera ISJS suivant une droite CD parallèle à AB.

En effet I les droites AB, CD étant dans le même [dan ABCD , si la ligne AB rencontrait CD« elle rencontrerait le plan MN, ce qui est contre Thypothèse.

Corollaire II. Si| par un point C d'un plan MN parallèle à la droite AB, on mène une ligne CD parallèle à cette droite, cette parallèle sera située dans le plan MN.

•NEEX.

Car s'il en était autrement) le plan mené par la droite AB et le point C , couperait MN , suivant une ligne CE, paràltèleà AB, et on pourrait par un point mener deux parallèles à une droite.

PROPOsrrioNxiL

THBQBBMB.

fis isa. Deux plans MN, PQ, perpendiculaires ci une même droite AB, sont parallèles entre eux.

Car s'ils se rencontraient quelque part , soit O un de leurs points communs , et joignez OA , OB; la ligne AB , perpendiculaire au planMN, est perpendiculaire à la droite OA menée par son pied dans ce plan ; par la même raison AB est perpendiculaire à BO; donc OA et OB seraient deux perpendiculaires abaissées du même point O sur la même ligne droite , ce qui est impossible ; donc les plans MN,.PQ, ne peuvent se rencontrer; donc ils sont parai- .. lèles. . .