LIVRE V. l
PROPOSITION XIU.
THÉORÈME
Les intersections EF, GH, de deux plans parallèles^ gg. ,89. MN, PQ, par un troisième plan FG, sont parallèles.
Car si les lignes EF , 6H , situées dans un même plan , ne sont pas parallèles, prolongées elles se rencontreront ; donc les plans MN, PQ, dans lesquels elles sont , se rencontreraient aussi ^ donc ils ne seraient pas parallèles.
PROPOSITION XIV
THB0RBJI8.
Là ligne AB, perpendiculaire au plan MN, estper^ fig.iss. pendiculaire au plan PQ^ parallèle à MN.
Ayant tiré à volonté la ligne BC dans le plan PQ , suivant AB et BC, conduisez un plan ABC doutTintersection ^ avec le plan MN soit AD, Tintersection AD sera parallèle à BC*; mais la ligne AB perpendiculaire au plan MN est «23, est perpendiculaire à la droite AD ; donc elle sera aussi perpendiculaire à sa parallèle BC; et puisque la ligne AB est perpendiculaire à toute ligne BC menée par son pied dans le plan PQ, il s'ensuit qu elle est perpendiculaire au plan PQ.
PROPOSITION XV
THBORBMS.
Deux plans A, B, parallèles à un troisième C, sont parallèles entre eux.
ip
1 5^ GEQMETillE.
Menez DF perpendiculaire au plan C; cette droite est perpendiculaire aux plans A et B , en vertu du théorème précédent; donc ces plans t^ont parallèles comme étant perpendiculaires à une mênie droite,
PROPOSITION xvr.
THBORBME»
fig.189. Les pàrcblièUs EG, FH, comprises ,enive dewcpèans parallèles MN, PQ, sont égales.
Par les parallèles EG, FH, faites passer le plan EGHF ,
qui rencontrera les plans parallèles suivant £F et GH. Les
*i3. intersections EF, GH, sont parallèles entrç elles % ainsi
queEG, FH; donc la figure EGHF est unparallélog^mrae;
doncEG = FH.
Corollaire^ Il suit de là que deux plans parallèles sont partout à égale distance-^ car si ÉG et FH sont perpendiculaires aux deux plans MN, PQ, eA'es seront parallèles ♦g. entre elles*; donc elles sont égales.
PROPOSITION XVII
THSOHÈME.
fig. tgo. Si deux angles CAE, DBF, non situés dans le m^me plan , ont leurs côtés .parallèles et dirigés dans le même sens, ces angles seront égaux et leurs plans seront parallèles.
Prenez AC = BD , AEzzr BF , et joignez CE , DF , AB , CD, EF. Puisque AC est égale et parallèle à BD, la figure ABCp est un parallélogramme; donc CD est égale et parallèle à AB. Par une raison semblable EF est égale et parallèle à AB; donc aussi CD est égale et parallèle à EF , la figure CEFD est donc un parallélogramme, et ainsi le côté
