LIVRE V
CE est égal et parallèle à DF; donc les triangles CAE, BDF sont équilatër^vx entre eu)(; donc langle CAE= DBF.
En second lieu je dis que le plan AGE est parallèle au plan BDF ; car , supposons que le plan parallèle à BDF , mené par le point A, rencontre les lignes GD^ EF, en d'autres points que G et E^ par exemple en G et H ; alors, suivant la proposition xvi, leâ trois lignes AJB^ GD,FH, seront égales : mais les trois AB> CD , £F , Ip sont déjà) donc on aurait GD 7=GD, et F H=:7 £F,ce qui.^st absurde; donc le plan AGE est parallèle à BDF.
Corollaire. Si deux plans parallèles AIN, PQ, squ^ rencontrés par deux autres plans GAAD, EABP, les angles CAE, BDF> formés par les intersactîo.ns dça pians pf^r^ilèleS) seront égaux; car Tipterseciion AG W parallèle à W) * , AE r est à BF, donc l'angle CAE = DBF, ♦ ,3.
PROPOSITION XVIII
5/ trois droites AB, CD^ EF, non situées dans le fig.igow même plan^ sont égales et parallèles y les triangles ACE, BDF, formés de part et d! autre enjoignant les extrémités de ces droites ^ seront égau^ , et leurs plans seront parallèles.
Car, puisque AB est égale c^t pai:allèle k GD, I^ $gtire ABGD est un parallélogramme ; donc le côté AC est égal et parallèle à BD. Par une maison semblable les côtés AE y BF, sont égaux et parallèles ainsi que G£, DF; donc les deux triangles ACE , BDF , sont égaux ; ou propvera d'ailleurs , comme dans la proposition précédente , que leurs plans sont parallèles.
l6o Gl^DMjh^RlE.
PROPOSITION XIX
THÉOEÈMS.
fig.i9î. Deux droites comprises entre trois plans pamllèles^ sont coupées en parties proportionnelles.
Supposons qne la ligne AB rencontre les plans parai* lèles MN, PQ, BS, en A, E, B» et que la ligne CDrencontre les mêmes plans en C^ F, D ; je dis qu'on aura AE : C F D : : B.:FE
Tirez AD qui rencontre le plan PQ en G , et joignez AC , E6, GF, BD ; les intersections EG, BD , 4es plans *i3. parallèles PQ, RS, par le plan ABD sont parallèles * ; donc AE : EB :: AG : GD; pareillement les intersections AC , GF , étont parallèles, on a AG : GD n CF : FD; donc^ à cause du rapport commun, AG:GD, on aura AE : EB :: CF : FD.
PROPOSITION XX
THBORBHB.
fig. tgi. Soit ABCD un quadrilatère quelconque situé ou non situé dans un même plan; si on coupe les côtés opjyo^ ses proportionfullement par deux droites EF , GH, (h' sorte qu*on ait AE:EB :: DF:FC,^irBG:GC :. AÏI:HD; je dis que les droites EF, GH, se couperont en un point M, de 'manière qu'on aura HMrMG :: AE:EB, e^EMrMFi.AHrHD.
Conduisez suivant AD un plan A^HcD qui ne passe pas
suivant GH;par les points E, B , C, F, menez à GH les
parallèles £e, B&, Ce, F/*, qui rencontrent ce plan en
9 ^9 <^jj^ ^ cause des parallèles B£, GH , Ce , on aura
iH:H<:::BG:GC::AH:HD; donc les triangles AHi, DHc,
