LIVRE V
Car quand Un plan est perpendhnilaiiv sur un autre, les angles dièdres adjacents sont égauic ; les angles rectilîgnes qui leur correspondent sont donc aussi égaux; or ceux-ci sont adjacents, donc ils ^ont droits.
PROPOSITION xxvn.
THBORBIIB.
Deux angles dièdres CABD, GEFH sont entre eux dans le même rapport que leurs angles rectilignes CBD, GFH.
Supposons que les deux angles dièdres aient une com«> mune mesure, et qu*en divisant CABD en trois parties égales, 'GEPH renferme 4 ^^ ^^^ parties , on aura
CABD:GEFH::3:4.
Menons les plans CBD , GFH respectivement perpendiculaires aux arêtes AB , EF ; ces plans couperont les faces de divisions suivant des droites BG, BM,... FG, FP, FR... respectivement perpendiculaires sur AB et sur EF; or les angles rectilignes CBM, MBN... GFP^ PFR... sont égaux comme correspondants à des dièdres égaux; d*ailleurs CBD contient trois de ces angles , et GFH en contient 4 ; on a donc aussi : CBD : GFH : : 3 : 4.
donc enfin CABD : GEFH : : CBD : GFH.
Si les deux angles dièdres n'avaient pas de commune
l68 G^OM^AIE.
mesure, on ferait Toir, par le raisonnement connu, que la proportion subsiste encore.
Scolie. Il résulte de ce théorème, que si Ton veut mesurer un angle dièdre D, c est-à-dire, trouver le .rapport de D à un angle dièdre pris pour unité (le dièdre droit, par exemple), il suffira de cherchier le rapport de Tangle rectiligne de D à un angle droit.
PROPOSITION XXVIII
^ THÉOaBMB.
fîg^T94. La ligne AP étant perpendiculaire au plan ;MN^ ftfoj^ plan APB , condidt suis^aM* AP, sera perpendiculaire au plan MN.
Soit BC rintersection des plans AB, MN; si dans le plan MN on mène DE perpendiculaire à BP, la ligne AP, étant perpendiculaire au plan MN, sera perpendiculaire à chacune des deux droites BG, DE: mais Tangle APD, formé par les deux perpendiculaires PA^ PD, à Tintersection commune BP, mesure langle des deux plans AB, MN; donc, puisque cet angle est droit, les dieux plans sont perpendiculaires entre eux.
Scolie. Lorsque trois droites, telles que AP, BP, DP, sont perpendiculaires entre elles, chacune de ces droites est perpendiculaire au plan des deux autres et les trois plans sont perpendiculaires entre eux.
PROPOSITION XXIX
THéORBMB.
Cfc'. 194. ^^ le plan AB est perpendiculaire au plan MN, et que dans le plan AB on mène la ligrut P A perpendiculaire à rintersection commune VB^je dis que PA sera perpemUculaire au plan MN.
