AXIOMES

I. Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles.

LIVRB I. 7

a. Le tout est pins grand que sa partie.

3. Le tout çst égal à la somme des parties dans lesquelles il a été divisé,

4. D*un point à un autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite.

5. Deux grandeurs, ligne, surface ou solide, sont égales, lorsqii'étant placées Tune sur Tautre elles coïncident dans toute leur étendue.

PROPOSITION PREMIÈRE

THioiliVE.

Par un point pris sur une drtnteon peut élei^er une perpendiculuire sur cette droite ^ et on n'en peut élei^er qu'une.

En effet, supposons qu'une droite AM d'abord couchée sur ÂG, tourne autour du point A, elle formera deux angles adjacents MAC, MAB, dont l'un MAC, d'abord très-petit, ira toujours en croissant^ et dont l'autre MAB, d'abord plus grand que MAC, ira constamment en décroissant jusqu'à zéro.

L'angle MAC, d'abord plus petit que MAB, deviendra donc plus grand que cet angle; par conséquent il y aura une position AM' de la droite mobile où ces deux angles seront égaux, et il est évident qu'il n'y en aura qu'une seule.

Corollaire. Tous les angles droits sont égaux.

Soient DC perpendiculaire sur AB , et HG perpendicu- ^g, ^^ laire sur EF, je dis que l'angle DCB est égal à HGF, En effet, si l'on porte la droite EF sur AB, de manière

8 G£OHÉTRI£.

que le point G tombe en C, 6H prendra la direction CD; autrement on pourrait, par un point pris sur une droite, élever deux perpendiculaires sur cette droite.

PROPOSITION IL

THBORXMB.

Toute ligne droite CD, qui en rencontre une autre KR^fait avec celle-ci deux angles adjacenU: ACD, BCD, dont la somme est égale à deux angles droits.

Au point'C, élevez sur A.B la perpendiculaire CE. L'angle ACD est la somme des angles ACE , ECD ; donc ACD + BCD sera la somme des trois ACE, ECD, BCD. Le premier de ceux-ci est droit ; les deux autres font ensemble Tangle droit BCE ; donc la somme des deux angles ACD , BCD, est égale à deux angles droits.

Corollaire I. Si Tun des angles ACD, BCD est droit, 'autre le sera pareillement.

fig. i8. Corollaire II. Si la ligne DE est perpendiculaire à AB , réciproquement AB sera perpendiculaire à DE.

Car, de'ce que DE est perpendiculaire à AB, il s'ensuit que l'angle ACD est égal à son adjacent DCB , et qu'ils sont tous deux droits. Mais de ce que l'angle ACD est un angle droit, il s'ensuit que son adjacent ACE est aussi un angle droit; donc l'angle ACE == ACD, donc AB est perpendiculaire à DE.

fig. 34. Corollaire IIL Tous les angles consécutifs BAC, CAD, DAË, EAF, formés d'un même côté de la droite BF, pris ensemble, valent deux angles droits; car leur somme est égale à celle des deux angles adjacents BAC, CAF.

PROPOSITION III

THÉORÈME

fig. «o. Si deux angles adjacents ACD, DCB, valent en^