LIVRE ï

semble deux angles droits , les deux côtés extérieurs AC, CB, seront en ligne droite.

Car si CB n'est pas le prolongement de AC, soit CE ce prolongement; alors la ligne ACE étant droite, la somme des angles ACD, DCE, sera égale à deux droits*. Mais, *i>rapar hypothèse, la somme des angles ACD, DCB, est aussi égale à deux droits ; donc ACD + DCB serait égale à ACD +DGE ; retranchant de part et d'autre langle ACD, il resterait la partie DCB égale au tout DCE, ce qui est impossible ; donc CB est le prolongement de AC.

PROPOSITION IV

THBOBÈME.

Toutes les fois que deux lignes droites AB, DE , se H- a»coupent f les angles opposés au sommet sont égaux.

Car puisque la ligne DE est droite, la somme des angles ACD, ACE, est égale à deux droits; et puisque la ligne AB est droite > la somme des angles ACE, BCE, est égale aussi à deux droits; donc la somme ACD + ACE est égale à la somme ACE + BCE. Retranchant de part et d'autre le même angle AGE, il restera l'angle ACD égal à son opposé BCE.

On démontrerait de même que l'angle ACE est égal à son opposé BCD.

Scolie. Les quatre angles formés autour d'un point par deux droites qui se coupent, valent ensemble quatre angles droits ; car les angles ACE, BCE^ pris ensemble, valent deux angles droits, et les deux autres ACD, BCD, ont la même valeur.

En général, si tant de droites qu'on voudra CA,CB,etc.> fig.aa. se rencontrent en un point C, la somme de tous les angles ^ consécutifs ACB, BCD*, DCE, ECF, FCA, sera égale h quatre angles droits ; car si l'on formait au point C quatre angles droits au moyen de deux lignes perpendiculaires

lO GlSoMJBTRIB.

entre elles ^ leur somme serait évidemment égale à celle des angles successifs ACB , BCD, etc.

PROPOSITION V

THÉORÈME

Si par un point O d'une droite AB, on mène de part et d'autre de cette droite deux lignes OC, CD, telles que les angles COA, BOD, soient égaux, CD sera le prolongement de OC.

En effet, supposons que OE soit le prolongement de OC, on aurait {ThéorèmelY) COA=:BOE;mais par hypothèse BOD=COA ; donc BOD serait égal à BOE, ce qui est absurde.

PROPOSITION VI

THBOEBMB.

Deux triangles sont égaux , lorsqu'ils ont un angle

égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun.

fig. a3. Soit Fangle A égal à Tangle D , le côté AB égal à DE ,

le côté AG égal à DF ; je dis que les triangles ABC, DEF»

seront égaux.

En effet, ces triangles peuvent être posés l'un sur l'autre de manière qu'ils coïncident parfaitement. Et d'abord si l'on place le côté DE sur son égal AB, le point D tombera en A et le point E en B : mais puisque l'angle D est égal à l'angle A^ dès que le côté DE sera placé sur AB, le côté DF prendra la direction AC. De plus, DF est égal à AC j donc le point F tombera en C, et le troisième côté EF

WVRB 1. Il

couvrira exactement le troisième côté 6G; donc le triangle DEF est égal an triangle ABC.

Corollaire. De ce que trois parties sont égales dans deux triangles, savoir, l'angle A = D, le côté AB=DE, et le côté AC = DF, on, peut conclure que les trois autres le sont, savoir, l'angle B = E, l'angle C î=iF, et le côtéBC=EF.

PROPOSITION VII

THEOREME.

Deux triangles sont égaux , lorsquHls ont un câtc égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun.

Soit le côté BC égal au côté EF, l'angle B égal à l'angle fig. ^3 E , et l'angle G égal à l'angle F; je dis que le triangle DEF sera égal au triangle ABC.

Car, pour opérer la superposition | soit placé EF sur son égal BC, le point E tombera en B, et le point F en G, Puisque l'angle E est égal à l'angle B, le côté ED prendra la direction BA ; ainsi le point D se trouvera sur quelque point de la ligne BA. De même, puisque l'angle F est égal à l'angle G, la ligne FD prendra la direction GA, et le point D se trouvera sur quelque point du côté GA; donc le point D qui doit se trouver à la fois surles deux lignes BA, CA, tombera sur leur intersection A ; donc les deux triangles ABC, DEF, coïncident l'un avec l'autre et sont parfaitement égaux.

Corollaire. De ce que trois parties sont égales dans deux triangles, savoir, BG==:EF, B = E, G = F, on peut conclure que les trois autres le sont, savoir, AB = DE, AG = DF, A = D.'

PROPOSITION VIII

THEOREME,

Dans tout triangle un côté quelconque est plus petit

que la somme des deux autres.

fig. 23. Car la ligne droite BC ^ par exemple , est le plus court

*Uéf. 8. chemin de B en C*; donc BG est plus petit que AB+ AC

On doit aussi remarquer qu'un côté quelconque est plus

grand que la différenpe des deux autres.

En efîet, soit a le plus grand côté, b et e les deux autres ; de l'inégalité a< A + c, on tire, en retranchant c de part et d'autre, a — c<i, et en retranchante, a — b<c.

PROPOSITION IX

THÉORÈME

fut a4 '^^ ^^'^ point O pris au dedans du triangle ABC, on mène aux extrémités et un côté BC les droites OB, OC, la somme de ces droites sera moindre que celle des deux autres côtés AB, AC.

Soit prolongé BO jusqu'à la rencontre du côté AC en

^ ^^ g D; la ligne droite OC est plus courte que OD + DC* : ajoutant de part et d'autre BO , on aura BO + OC < BO + OD + DC , ou BO + OC < BD 4- DC.

On a pareillement BD < BA+ AD; ajoutant de part et d'autre DC , on aura BD -h DC < BA + AC. Mais on vient de trouver BO H- OC < BD -f- DC j donc à plus forte raison, BO + OC < BA + AC.

PROPOSITION X

THÉORÈME

Toute ligne polygonale cons^exe ABCD est moindre qu'une ligne quelconque MEFG qui Venveloppe de toutes parts.

LIVAE I. l3

Prolongez dans le même sens les côtes du polygone ABCD, jusqu*à leur rencontre avec la ligne enveloppante, on aura cette suite d*inégalités

AB + BH< AL -f-LE + EH BC+CI <BH -4-HF+FI CD+DK< Cl-h IG +GK DA-h AL < DK + KM +ML.

Ajoutant ces inégalités membre à membre, et supprimant les parties communes aux deux membres , on a AB + BC + CD + DA < EF+PG +GM + ME.

On prouverait de la même manière que toute ligne polygonale convexe est moindre quune ligne enveloppante terminée aux mêmes extrémités.

PROPOSITION XL

THÉORÂMB.

Si deux côtés (Twi triangle sont égaux à deux côtés duii autre triangle chacun à chacun; si en même temps t angle compris par les premiers est plus grand que r angle compris par les seconds, je dis que h troisième côté du premier triangle sera plus grand que le troisième côté du second.

Placez les deux triangles de manière qu'ils aient un côté commun AC, et les deux autres côtés égaux AB, AD, si-

l4 GEOMJSTRlà.

tués de part et d*autre. On a d'ailleurs l'angle BAC > CAD.

Divisez 1 angle BAD en deux parties égales par la ligne AË, cette droite tombera dans le plus grand angle BAC; enfin tirez la ligne DE: les deux triangles BA£,,EAD, seront égaux comme ayant n angle égal compris enU'e deux côtés égaux. Donc BEtssED. Mais dans le triangle EDC, on a CD < ED •+• EC. Remplaçant ED par BE, on obtient CD < BE + EC ou CD < Bc!

Réciproquement, si les côtés AB, AC, du triangle ABC sont égaux aux deux côtés AC, AD, du triangle ACD ; si de plus le troisième côté CB du premier triangle est plus grand que le troisième côté CD du second, l'angle BAC sera plus grand que l'angle CAD.

Car si l'angle BAC était plus petit que CAD^ on vient de voir que CB serait plus petit que CD , ce qui est contre l'hypothèse ; et si l'angle BAC était égal à CAD , on aurait (Théorème VI) CB = CD; ce qui est aussi contre la supposition.

PROPOSITION XII

THEOREME.

Deujc triangles sont égaux y lorsqu'ils ont les trois cafés égaux chacun à chacun.

figai. Soit le côté AB =DE, AC=DF, BC = EF, je dis qu'on aura l'angle A = D,B=:E, C=F.

Car si l'angle A était plus grand que l'angle D, comme les côtés AB, AC, sont égaux aux côtés DE , DF, chacun à chacun , il s'ensuivrait, par le théorème précédent, que le côté BG est plus grand que EF ; et si l'angle A était plus