LIVRE V

Soit ASB = DTE, BSG = ETF, et le dièdre SB égal au dièdre TK

Faisons coïncider Tangle ASB sur son égal DTE; à cause de légalité des angles dièdres SB , TE , le plan ETF s'appliquera sur le plan BSC, et comme les angles ETF, BSC sont égaux, l'arête TF prendra la direction SC;les deux trièdres coïncideront donc et auront toutes leurs parties égales.

Si les faces égales des deux trièdres étaient inversement disposées par rapport aux dièdres ^gaux, on superposerait le trièdre T sur le symétrique de SABG , et on serait conduit à la même conclusion.

PROPOSITION XXXII

TSBORBMB.

Deux trièdres sont égaux dans toutes leurs parties lorsqiiib ont une face égale adjacente à deux dièdres égaux chacun à chacun.

Soit ASG»DTF, le dièdre SA=TD, et le dièdre SG = TF.

Faisons coïncider la face DTF sur son égale ASC; a cause de légalité des dièdres SA et TD, SC et TF, les plans DTE, FTE s'appliquent respectivement sur les faces ASB, GSB; donc l'arête TE coïncidera avec SB, et les deux trié* dres coïncidant auront toutes leurs parties égales.

Si les dièdres égaux étaient inversement placés par rapport aux faces égales, on superposerait le trièdre T sur le symétrique du trièdre S, et on arriverait ainsi au même résultat.

PROPOSITION XXXIII

THBORBMB.

Si deiix angles trièdres ont les faces égales chacune à chacune , les angles dièdres opposés aux faces égales seront égaux entre eux.

Soit: ASB=DTE,'ASC=DTF, BSC=ETF.

Prenons les six longueurs égales SA , SB , SC, TD , TE, TF; et tirons les lignes AB, AC, BC, DE, DF, EF. Les triangles isocèles SAB, DTE, sont égaux comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux; il en sera de même des triangles SBG, TSF, et aussi des triangles SAC, TDF. Enfin , de Végalité de ces triangles , résulte celle des trian* gles ABC, DEF, car ils sont équilatéraux entre eux«

Cela posé: par un point M de l'arête SA, menons dans les faces SAB , SAC, les droites MN, MP perpendiculaires sur SA ; ces droites rencontreront les côtés AB et AC, puisque les triangles SAB, SAC étant isocèles, les angles à la base SAB, SAC sont aigus; enfin, tirons la droite NP.

Maintenant, prenons DG=: AM, et répétons dans le second trièdre la construction précédente.

Les triangles rectangles AMN, DGK sont égaux comme ayant le côté AM = DG et l'angle aigu MAN=:GDK; on

, tfVRX V. 173

en conclut ÂN=:DK et MN = 6K. On verrait de même que MP=GH et AP=DH.

On reconnaît aussi que les triangles PAN, HDK, sont égaux, comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux; d'où l'on conclut : NP=KH. Donc enfin, les triangles NMP, KGH^ onxles trois côtés égaux^chacun à chacun; donc Fangle NMP , qui mesure le dièdre SA , est égal à Tangle KGH qui mesure le dièdre TD.

Soolie. Si les deux angles solides ont, en outre, leurs faces semblablement disposées, ils seront égaux par super* position ; dans le cas contraire, ils seront symétriques.

PROPOSITION XXXIV

THBO&BME.

1** Tout point pris sur le plan bissecteur d!un angle dièdre est également distant des deux faces de l'angle dièdre,

a® Tout point pris dans V intérieur d!un angle dièdie^ hors du plan bissecteur ^ est inégalement éloigné des deux faces.

Nous laissons au lecteur le soin de faite la démonstration de ce théorème, qui est analogue à la proposition âi, Ut. I.

Corollaire, Dans tout angle trièdre, les plans bissecteurs des angles dièdres se coupent suivant une même droite.

PROPOSITION XXXV

THBORBME.

Si et un point O, pris dans V intérieur dun angle dièdre^ on abaisse des perpendiculaires OA , OB sur les deux faces j t angle îiOR formé par ces dewt droites sera le supplément de T angle drèdre.

GÉOMimiB.

En efFet, le plan AOB est perpendiculaire aux deux faces CDF, CDE^ et par suite à leur intersection CD; il coupera donc les deux faces de Tangle dièdre suivant deux droites AI, BI perpendiculaires à CD; etlangle AIE sera la mesure de Tangle dièdre. D ailleurs le quadrilatère OAIB renferme deux angles droits A et B; donc A0B+AIB=2*'^

Remarque. Si langle dièdre était obtus, il pourrait arriver pour certaines positions du point O, que la perpendiculaire abaissée sur Tune des iàces vint la rencontrer sur son prolongement. Mais on peut facilement étendre la démonstration précédente à ce cas, en remarquant que tous les angles ainsi formés en donnant au point O différentes positions sont tous égaux, comme ayant les c6tés parallè-* les et dirigés dans le même sens. Or si Ton place le point O dans le plan bissecteur, les perpendiculaires abaissées d« ce point sur les faces ne sauraient les rencontrer dans leurs prolongements. La démonstration précédente peut donc s appliquer ; donc le théorème est vrai pour toute) autre position du point O.

PROPOSITION XXXVI

THÉOEÈMS.

Sidunpoint'Hipris dans F intérieur d'un angle trié-* dre Sf on abaisse des perpendiculaires MP, MQ, MR sur les faces ASB, BSC, ASC, ces perpendiculaires /on-

LIVRB V.. 175

ment un second trièdre dont les faces seront les sup^ pWnents des angles dièdres du premier^ et réciproquement les faces du premier seront les suppléments des dièdres du second.

En effet, d'après le théorème précédent, Tangle PMR, formé par les droites MP , MR perpendiculaires aux deux faces ASB, ASC, est le supplément de l'angle dièdre SA. On Terrait de même -que Tangle RMQ est le supplément de 1 an^rle dièdre SC , et que l'angle PMQ est le supplément de l'angle dièdre SB.

Pour démontrer la seconde partie de la proposition, remarquons d abord que 1 angle solide MPRQ est le même, quelle que soit la position du point M dans l'angle solide S. Car tous les angles trièdres ainsi formés auraient leurs faces égales et semb1at>Iement placées.

Cela posé, le plan PMR perpendiculaire aux faces ASB, ASC est perpendiculaire à leur intersection SA; on voit de même, SB est perpendiculaire sur le plan PMQ, et SC sur le plan RMQ. Enfin si le point M a été pris sur l'intersection des plans bissecteurs des dièdres SA, SB^ SC, les perpendiculaires MP, MR, MQ tomberont dans l'intérieur des angles ASB, ASC, BSC ; le point S sera donc dans l'intérieur de l'angle solide MPRQ; de plus les droites SA, SB, SC sont perpendiculaires sur les faces PMR, PMQ, RMQ; donc, d'après la première partie du théorème, les angles ASB, BSC, ASCy sont les suppléments des dièdres MP, MQ, MR.

1 76 GÉOMBTRIE.

PROPOSITION XXXVIX.

THEOREME.

Si (leiix trièclrcs ont leurs angles dièdres égaux cha^ cun à chacun , ils ont aussi leurs faces égales.

Soient S et S' les deux trièdres donnés; T et T' leurs trièdres supplémentaires.

Puisque S et S' ont leurs dièdres égaux, les trièdres T et T' auront leurs faces égales chacune à chacune, et par suite leurs angles dièdres égaux. Enfin, les trièdres T et T' ayant leurs dièdres égaux, les trièdres S et S' auront leurs faces égales.

Scolie. Si les faces égales des deux trièdres sont seon klablement disposées , les trièdres seront égaux par super* position ; autrement, ils seront symétriques,

PROPOSITION XXXVIII

THEOREME.

fig.igi Si un angle solide est formé par trois angles plans , la somme de deux quelconques de ces angles sera plus grande que le troisième.

Il n'y a lieu à démontrer la proposition que lorsque l'angle plan qu*on compare à la somme des deux autres est plus grand que chacun de ceux-ci. Soit donc Tangle solide S formé par trois angles plans ASB, ÂSC , BSC , et supposons que langle ASB soit le plus grand des trois ; je dis qu'on aura ASB< ASC-j-CSB.

Dans le. plan ASB faites l'angle BSD=BSC , tirez à volonté la droite ADB; et, ayant pris SC=:SD, joignez AC,BC.

Les deux côtés BS, SD, sont égaux aux deux BS, SC , langle BSD = BSC; donc les deux triangles BSD, BSC sont