LIVRE V
égaux; donc BD=BC. Mais on a AB< AC + BC; retranchant d*un côté BD, et deTautre son égale BC, il restera AD < AC. Les deux côtés AS, SD, sont égaux au^x deux AS, se, le troisième AD- est plus petit que le troisième AG; donc Tangle ASD<ASG. Ajoutant BSD = BSG, on aura ASD + BSD ou ASB < ASG + BSG,
PROPOSITION XXXIX
THÉO&BME.
La somme des angles plans qui forment un angle solide convexe j est toujours moindre que quatre angles droits.
Coupez Vanglê solide S par un plan ABGDE qu^ rencon- fig-ig6. tre toutes les arêtes; d*un point O pris daqs ce plan menez à tous les angles les lignes OA, OB, OG, OD, 0£.
La somme des angles des triangles ASB, BSG, etc., formés autour du sommet S, équivaut à la somme des angles d'un pareil nombre de triangles AOB, BOG, etc., formés autour du sommet O. Mais au point B les angles ABO, OBG , pris ensemble , font Tangle ABG plus petit que la somme des angles ABS, SBG *\ de même au point G on a *38. BCO + OGD<BGS + SCD; et ainsi à tous les angles du polygone ABGDE. Il suit de là que dans les triangles dont le sommet est en O , la somme des angles à la base est moindre que la somme des angles à la base dans les triangles dont le sommet est en S; donc^ par compensation, la somme des angles formés autour du point O est plus grande que la somme des angles autour du point S. Mais la somme des angles autour du point O est ^ale à quatre angles droits ; donc la somme des angles plans qui forment Tangle solide S est moindre que quatre angles droits.
PROPOSITION XL
THBORBMB.
I " Dans tout angle tricdre^ la somme des trois dièdres est comprise entJ'e 2 dmits et 6 droits; 2^ le plus petit angle dièdre ^ augmenté de deux droits^ est plus grand fpie la somme des deux autres.
]*' Soient a, &, c, lestrois dièdres de l'angle trièdre donué, ttt A, B| C, les faces du trièdre supplémentaire.
On a: ii=a*— A 4=2**— B c=a'*— G; cVoù , en ajoutant
a-hi4-c = 6^— (A + B + C).
D'ailleurs, la somme A-j-B H-C est plus grande que zéro, et moindre que 4'*'; donc la somme a + A-f-c est moindre que 6 droits, et plus grande que 2 droits.
n? a y b^ c étant les dièdres du trièdre donné, et a le plus petit; 2* — a, 2** — i, 2* — c seront les faces du trièdre supplémentaire, et 2* — a la plus grande; on aura donc, en vertu du théorème 38,
2^ fl<2* 4+2'* c,
doù en ajoutant de part et d'autrei + tf + <i| et retrao* chant a"*'
PROPOSITION XLI
THiORBMB.
Pour qu*on puisse former un angle solide trièdi^ ai^ec trois faces données, il faut et il suffit que la somme des trois faces soit moindre que 4 divits^ et
LITRE V. lyg
que la plus grande soit plus petite que la somme des deux autres.
Nous ayons déjà reconnu que ces conditions sont nécessaires; il reste donc à démontrer qu elles sont suffisantes.
Soient BSC, ASB, DSC les trois faces données que nous supposons placées dans un même plan, et soit BSC la plus grande.
Du point S comme centre ayec un rayon arbitraire SA, décrivons une circonférence, et abaissons des points A et D les droites Aa, lid perpendiculaires sur ISB et sur SC.
L'angle BSC étant le plus grand des trois, BC sera plus grand que chacun des arcs BA, CD, et comme Ba = BA, on voit que le point a est entre B et C, et il en est de même derf.
De plus, on a par hypothèse BSC < ASB + CSD, et par suite BC < AB + CD.
Donc puisque Ba = BA et ' Crf = CD, le point a est sur lare BC à la droite de d.
Enfin la somme des trois faces données étant moindre que 4 droits, le point D sera placé à la droite du point A, sur la circonférence parcourue à partir du point B, dans le sens indiqué par la flèche.
11 résulte de là que les cordes Aa, Drf se couperont dans I intérieur de la circonférence.
€ela posé, élevons au point O une perpendiculaire OM
la.
1 6o G]ÉOM£TRI£
au plan BSG, et dans le plan lOM, décrivons du point I comme centre avec Al comme rayon , une circonférence qui coupera OM en un point M, et joignons MS; l'angle trièdre SBMG sera formé avec les trois faces données.
En effet, joignons MI et MK; les triangles ASI, MIS sont rectangles en I ; ils ont SI commun, et AI = IM, donc ils sont égaux ; et Ton a rangleASI=ISM. De mêmeles triangles rectangles MSK, DSK sont égaux ; ,car le côté SK est commun, et les côtés SD, SM égaux tous deux à SA, sont égaux entre eux ; donc Tangle MSK = DSK.
Scolie* Pour former un angle trièdre avec trois angles dièdres donnés a, &, c, il faut et il suffit que leur somme soit comprise entre 2 droits, et 6 droits, et que le plus petit, augmenté de 2 droits, soit plus grand que la somme, des deux autres.
On sait déjà que ces conditions sont nécessaires, et de plus elles sont suffisantes ; car on peut facilement reconnaître que quand ces conditions sont remplies , on peut construire le trièdre supplémentaire avec les faces a"* — «, a** — i, a** — e; *donc, on peut aussi construire un trièdre avec les angles dièdres a, £, c.
