LIVRE YI

Corollaire. Deux pnsmes droits qui ont des bases égales et des hauteurs égales sont égaux. Car ayant le côté AB égal à oA, et la hauteur BG égale à bg^ le rectangle ABGF sera égal au rectangle aig/; il en sera de même des rectangles B6HC, bghc; ainsi les trois plans qui forment Tangle solide B sont égaux aux trois qui forment l'angle solide A. Donc les deux prismes sont égaux.

PROPOSITION III

THBORBMB.

Dans tout paralléUpipède les plans opposés sont €igaux et parallèles.

Suivant la définition de ce solide , les bases ABCD , ^^- *'^- EFGH , sont des parallélogrammes égaux , et leurs côtés sont parallèles : il reste donc à démontrer que la même chose a lieu pour deux faces latérales opposées , telles que AEHD, BFGC. Or, AD est égale et parallèle à BC, puisque la figure ABCD est un parallélogramme; par une raison semblable AE est égale et parallèle à B F : donc Tangle DAE est égal à l'angle CBF*, et le plan DAE parallèle à CBF; **7,5.^ donc aussi le parallélogramme DAEH est égal au parai. . lélogramme CBFG. On démontrera de même que les parallélogrammes opposés ABFE, DCGH, sont égaux et parallèles.

Corollaire. Puisque le parallélipipède est un solide compris sous six plans dont les opposés sont égaux et parallèles, il s'ensuit qu'une face quelconque et son opposée peuvent être prises pour les bases du parallélipipède.

5co/i>. Étant données trois droites, AB, AE, AD, passant par un même point A, et faisant entre elles des angles donnés, on peut sur ces trois droites construire un parallélipipède; il faut pour cela mener par l'extrémité de chaque droite un plan parallèle au plan des deux autres; savoir , par le point B un plan parallèle à DAE, par le point D

l86 GEOMETRIE.

un plan parallèle à BA£ y et par le point £ un plan parallèle à BAD. Les rencontres mutuelles de ces plans formeront le parallélîpipède demandé.

^ PROPOSITION IV

THEOREME.

Dans tout parallélîpipède, les diagonales se coupent, mutuellement en deux parties égales.

^ ^^ En effet, imaginons deux diagonales EC, AG, menées Tune et lautre par des sommets opposés : puisque AE est égale et parallèle à GG, la figure AEGG est uix parallélogramme ; donc les diagonales EC , A6 , se couperont mutuellement en deux parties égales. On démontrera de même que la diagonale £G et une autre DF ;&e couperont aussi en deux parties égales ; donc les quatre diagonales se couperont mutuellement en deux parties égales, dans un même point qu'on peut regarder comme le centre du paralléli* pipède.

PROPOSITION V

THEOREME.

fig^ aoi. Dans tout prisme ABCI , les sections NOPQR, STVXYy faites par des plans parallèles, sont des poly^ gones égaux.

Car les côtés NO, ST, sont parallèles , comme étant les intersections de deux plans parallèles par un troisième plan ABGF ; ces mêmes côtés NO, ST, sont compris entre les parallèles NS, OT, qui sont des côtés du prisme ; donc NO est égal à ST. Par une semblable raison, les côtés OP,PQ, QR,etc.^ delà section NOPQR, sont égaux respectivement aux côtés TV,VX,XY,etc., de la section STVXY, Dail-

Livni? Vf. 187

leurs les côtés égaux étant en même temps parallèles, il s'ensuit que les angles NOP,OPQ, etc. , de la première section, sont égaux respectivement aux angles STV,TVX, etc., delà seconde. Donc les deux sections NOPQR , STVXY, sont des polygones égaux.

Corollaire. Toute section faite dans un prisme parallè* tentent à sa base , est égale à cette base.

PROPOSITION VI

THBOASME,

Le plan qui passe par deux arêtes opposées FB, 1 )H, ^^, aoS. dupnrallélipipède AG, décompose ce paralléUpipèdeen deux prismes triangulaires équii^alents.

Par les sommets B et F menez perpendiculairement au côté BFy les plans Badc^ F^^y ^î rencontreront dune part en a, dy c, de Tautre en ej hjg^ les trois autres côtés A£ , DH , GG , du même parallétipipède ; les sections Badc^ Fehfj seront des parallélogrammes égaux. Cea sections sont égales , parce qu'elles sont &ites par des plans perpendiculaires à une même droite et par conséquent parallèles ^ ; * 5. elles sont des parallélogrammes , parce que deux côtés opposés dune même section aB, dc^ sont les intersections de deux plans parallèles ABFE ^ DGGH , par un même plan.

Par une raison «semblable , la figure Ba^F est un parallélogramme, ainsi que les autres faces latérales BF^c , cdhgy adhe^ du solide BadcFekg; donc ce solide est un prisme * ; *^^f^ ^^ et ce prisme est droit, puisque le côté BF est perpendiculaire au plan de la base.

Cela posé , si par le plan BFHD on divise le prisme droit BÂ en deux prismes triangulaires droits aBdéFk , BdcFhg ; je dis que le prisme triangulaire oblique ABDEFH sera équivalent au prisme triangulaire droit aBdéFk.

En* effet ces deux prismes ayant une partie commune

J 88 Gl^QMBTRlE.

ABD^^F, il suffira de prouver que les parties restantes, savoir , les solides BaAD J, F^EHA sont équivalents entre eux.

Or, à cause des parallâogranimes ASPEjàRFe, les côtés AE , acj égaux à leur parallèle BF, sont égaux entre eux^ ainsi, en ôtant la partie commune A«, il restera Aa=Ee. On prouvera de même que D<^=HÂ.

Maintenant, pour opérer la superposition des deux solides BaAD^, F^EHÂ, plaçons la baseFM sur son égale Ba^f; alors le point e tombant en a , et le point h en d^ les côtés <?E, hH^ tomberont sur leurs égaux ak, dDy puisqu'ils sont perpendiculaires au même plan Bctd. Donc les deux solides dont il s agit coïncideront entièrement l'un avec l'autre ; donc le prisme oblique BADFEH est équivalent au prisme droit BadFek.

On démontrera semblablement que le prisme oblique BDGFHG est équivalent au prisme droit BdcFkg, Mais les deux prismes droits BadFch^ BdcFhgsont égaux entre eux, puisqu'ils ont même hauteur BF, et que leurs bases Bad^ ^ Bdcj sont moitiés d*un même parallélogramme *. Donc

les deux prismes triangulaires BADFEH, BDGFHG, équivalents à des prismes égaux, sont équivalents entre eux.

CoroUtUre. Tout prisme triangulaire ABDHEF est la moitié duparalléiipipède AG, construit sur le même angle solide A , avec les mêmes arêtes AB , AD , AE.

PROPOSITION VIL

THBORBMB.

jj Si deux paralléUpipèdes AG, AL, ont une base com-

mune ABGD , et que leurs bases supérieures EFGH , IKLiM, soient comprises dans un même plan et entiT les mènes parallèles EK, HL, ces deux parallélipipèdes seront écpdi^alents entre eux.

Il peut arriver trois cas, selon que El est plus grand.