LIVRE VI
plus petit ou égal à EF; mais la démonstration est la même pour tous : et d*abord je dis que le prisme triangulaire AEIDHM est égal au prisme triangulaire BFKCGL.
En effet, puisque £ est parallèle à BF et HE à GF, l'angle AEI=BFK,HEI=:GFK, et HEA = GFB. De ces six angles les trois premiers forment langle solide £, les trois autres forment l'angle solide F ; donc, puisque les angles plans sont égaux chacun à chacun , et semblablement disposés , il s ensuit que les angles solides E et F sont égaux. Maintenant , si ou pose le prisme AE M sur le prisme BFL, et d abord la base AEI sur la base BFK, ces deux bases étant égales coïncideront; et puisque Tangle solide E est égal i Tangle solide F , le côté EU tombera sur son égal FG : il n'en faut pas davantage pour prouver que les deux prismes coïncideront dans toute leur étendue , car la base AEI et l'arête EH déterminent le prisme AEM, comme la base BFK et larête FG déterminent le prisme BFL * : donc ces prismes sont égaux.
Mais si du solide AL on retranche le prisme AEM, il restera le parallélipipède AILj et si du même solide AL on retranche le prisme BFL, il restera le parallélipipède AEG, donc les deux parallélijHpèdes AIL, AEG, sont équivalents entreeux
PROPOSITION VIII
THBORfiMB.
Deuxparallétipipèdes de même base et de même hauleur sont éqxdvalents entre eux.
Soit ÂBCD la base commune aux deux paraliélipipèdes AG , AL ; puisqu'ils ont même hauteur, leurs bases supérieures EFGH, IKLM, seront sur le même plan. Déplus fiG-^io. les côtés EF et AB sont égaux et parallèles , il en est de même de IK et AB ; donc EF est égal et parallèle à IK : par une raison semblable GF est égal et parallèle à LK.
ipo GÉOMléTRlE.
Soient prolongés les cotés EF,H6 ainsi qae LK., IM, jusqu a ce que les uns et les autres forment par leurs intersections le parallélogramme NOPQ , il est clair que ce parallélogramme sera égal à chacune des bases EFGH , IKLM. Or si on imagine un troisième parallélipipède qui, avec la même base intérieure ABGD, ait pour base supérieure NOPQ , ce troisième parallélipipède serait équiTaient au ^ ' parallélipipède AG% puisque ayant même base inférieure , les bases supérieures sont comprises dans un même plan et entre les parallèles 6Q y FN. Par la même raison ce troisième parallélipipède serait équivalent au parallélipipède AL ,' donc les deuxparallélipipèdes AG, AL , qui oat même base et même hauteur, sont équiyalents entre eux.
PROPOSITION IX
THÉO&BMS.
Tout parallélipipède peut être c/uingéen un parallélipipède rectangle équivaleruqui aura m^éme hauteur et une base équii^alente.
fig. 2 (u. Soit A.G le parallélipipède proposé ; des points A, fi, G, D, menez AI , BK, CL, DM, perpendiculaires au plan de la base , vous formerez ainsi le paralléUpipède AL équivalent au parallélipipède AG , et dont les faces latérales AK, BL, etc., seront des rectangles. Si donc la base ABCD est un rectangle, AL sera le parallélipipède rectangle équivalent au parallélipipède proposé AG. Mais si ABGD n'est
fjg. au. P^^ un rectangle , menez AO et BN perpendiculaires sur CD, ensuite OQ et NP perpendiculaires sur la base , vous aurez le solide ABNOIKPQ qui sera un parallélipipède rectangle : en effet , par construction , la base ABNO et son opposée IKPQ sont des rectangles ; les faces latérales en sont aussi , puisque les arêtes AI , OQ , etc., sont pei'pendiculaires au plan de la base ^ donc le solide AP est
IdVKE Vi. 191
un parallëlipipède rectangle. Mais les deux paraUéUpipèdes AP, AL, peuvent être censés avoir même base ABKI et même hauteur AO : donc ils sont équivalents ; donc le parallëlipipède AG, qu'on avait d abord changé en un parallélipipède fig.aio équivalent AL, se trouve de nouveau changé en un parallélipipède rectangle équivalent AP , qui a la même hauteur AI, et dont la base ABNO est équivalente à la base ABCD.
PROPOSITION X
THBORÈMB.
Deux parallélipipèdes rectangles AG, AL, qui ont fig.aïa. la mérite base ABCD, sont entre eux coinme leurs hau-' teurs AE, AL
Supposons d'abord que les hauteurs AE, AI, soient en'>> tre elles comme deux nombres entiers, par exemple, comme 1 5 est à 8. On divisera AE en i5 parties égales, dont AI contiendra 8 , et par les points de division j:, j, z, etCi, on mènera des plans, parallèles à la base. Ces plans partageront le solide AG en i5 parallélipipèdes partiels qui seront tous égaux entre eux, comme ayant des bases égales et des hauteur^ égales \ des bases égales, parce que toute section comme MIKL, faite dans un prisme parallèlement à sa base ABCD, est égale à cette base *; des hauteurs *5^ égales, parce que ces hauteurs sont les divisions mêmes Aa:, xy ^ jrZy etc. Or , de ces i5 parallélipipèdes égaux , huit sont contenus dans AL ; donc le solide AG est au solide AL comme 1 5 est à 8 , ou en général comme la hauteur AE est à la hauteur AI.
Si les hauteurs AE et AI étaient incommensurables , on prouverait , comme il a été dit (Liv. II, pr. 18) , que leur rapport serait toujours égal^ à celui des parallélipipèdes.
Remarque. Oans un parallélipipède rectangle , si a , & , c sont trois arêtes contiguës , et qu'on prenne l'une d'elles
19^ GÉOmÉTRlE
pour la hauteur , les deux autres forment les deux dimensions de la base.
PROPOSITION XL
THÉORÈME
Deux parallélipipedes rectangles V etV* qui ont une dimension commune sont entre eux comme les produits de leurs autres dimensions j ou autrement deux parallélipipedes rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.
Soient a^ b^ c les trois dimensions du parallélipipède P ; a, b\i! celles de F.
Formons un troisième parallélipipède rectangle P" dont les dimensions soient a, b^d.
Les parallélipipedes Pet P' ayantdeuxdimensionscomniunes a etb sont entre eux comme les hauteurs c et c' ; ainsi on a :
Par la même raison on a :
Multipliant par ordre , et divisant par P' les deux termes du premier rapport, il vient:
On sait d'ailleurs que les bases B, B' des deux parallélipidèdessont entre elles comme le^ produits b y, c^U x c': donc , aussi :
PROPOSITION XIL
THÉORÈMB.
Deux pandlélipipèdes rectangles P et F sont entre
LIVRK VI. 193
eux comme les produits de leurs bases par leurs haU' leurs , ou comme les produits de leurs trois dimensions.
SoieDt H la hauteur du parallëlipipède V^atlb les deux dimensions de la base B.
Soient de même H^ la hauteur du parallëlipipède F , a et b les deux dimensions dç la base B'.
Soit P*' un troisième parall6li|»pède ayant pour hauteur H, et B' pour base.
Les parallélîpipèdes P et P' ayant même hauteur, on a ^d après le théorème précédent :
Les parallélîpipèdes P'' et P' ayant même base, on a^ : ^
Multipliant par ordre et dÎTisant les deux termes du premier rapport par P", il vient :
On sait d'ailleurs que les bases B et B' sont entre elles comme les produits a X h ^ a! X b\
OnadoncrBxH :B'xH':: ^X&xH: Xa'xJ'xH'; d*où Ton conclut, à cause du rapport commun,
P : F ::axJxH :«'xô'xH'. (2)
MESURE Dtl PAKALLBLIPIPBDE BBCTÀNGLE.
Mesurer un parallëlipipède rectangle P, c'est trouver son rapport à uu certain parallëlipipède rectangle P' pris pour unité.
Or la proportion (2) montre que pour obtenir ce rapport, il faut évaluer a, 6, H, a', V H' avec une même unité linéaire, et diviser le produit des trois premiers nombres par le produit des trois autres.
1^4 GéOMJSTRIE
Le calcul se simplifie beaucoup en prenant pour unité i^ vpiume P'^ le cabe doii^)^ côté est Tunité linéaire; car alors les nombres qui représentent a', b\ H' se rédqisent à Vanité, et la proportion (2) devient :
P : P': : ax*X H : i; d'où 1-on voit que la mesure du paraUéltfNipède rectangle est égale au prodjuit de ses trois dimensions. .
Remarquons que le produit axb indique combien de fois la base B du parallélîpipède P contient le carré fait sur Tunité linéaire.
La mesure du parallélîpipède r«!€tangle est donc aussi égale au produit de sa base par sa hauteur (en prenant pour unité de surface le carré fait sur l'unité de longueur, et pour unité de volume le cube construit sur cette même unité).
Applications. — i® Soient a=2'",5i, i=3'",25, H=:2'",45; la mesure du parallélipipèd^ sera
2,5i ^^3,25)^^,4^ ou 19,985875.
Le volume du parallélîpipède contiendra donc IQ met. cub., plus 985875 millionièmes de mètre cube; ou bien 19 mètres cube^ 9^^ décimètres cubç$, 876 centim. cubes. Car le décif|)ètf^ cube est la millième partie du mètre cube, et le centimètre cube en est la millionième partie.
fti^^s carréi. mètr.
2° Soit B = 25,5 1, et H =12,5; la mesure du parallélipipède sera 25,5i X 12^5, ou 318,875; le volume du
mètres cabet.
parallélîpipède rectangle sera donc 318,875. PROPOSITION XIIL
HÉOREMB.
lui solidité {*) dim parallMipipède^ et en général la
i ■ . ■ ■ ■ . ■ ■ 1 t III , ■
(*) On cntcDd par solidit* d'un corps U inesive du Tolnine de ce coip».
