LIVRE vï. igS

solidité (Pim prisme quelconque^ est égale au prodtdt de sa base par sa hauteur^

Car i^ UQ paraJUiélipipè(l^ quelconque est équivalent à un paraliélipipède rectangle de même hauteur et de base équivalente^. Or, la solidité de c^lui-ci est égale à sa hase * ^ multipliée par sa hauteur; donc la solidité du premier est pareillement égale au produit de sa base par sa hauteur.

a" Tout prisme triangulaire est la moitié du paraliélipipède construit de manière qu^il ait la même hauteur et une base double*. Or la solidité de celui-ci est égale à sa *^ base multipliée par sa hauteur; donc celle du prisme triangulaire est égale au produit de sa base, moitié de celle du paraliélipipède, multipliée par sa hauteur.

3"* Un prisme quelconque peut être partagé en autant de prismes triangulaires de même hauteur qu'on peut former de triangles dans le polygone qui lui sert de base. Mais la solidité de chaque prisme triangulaire est égale à sa base multipliée par sa hauteur; et puisque la hauteur est la même pour tous , il s'ensuit que la somme de tous les prismes partiels sera égale à la somme de tous les triangles qui leur servent de bases, multipliée par la hauteur cùm« mune. Donc la solidité d un prisme polygonal quelconque est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire. Si on compare deux prismes qui ont même hauteur, les prockiits des bases par les hauteurs seront eoanme les bases ; donc deux prismes de même hauteur sont entre 0ua comme leurs basés; par une raison semblable, deux prismes de même hase sont entre eux comme leurs hauteurs.

PROPOSITION XIV

'THÉORBMS.

Si une pjranùde SABCDE est coupée par tin plan ^ abd parallèle à sa hase y

196 gi£om]£tbie

i"" Les côtés SA, SB, SC,.,.. et la hauteur SO, seront divisés proportionnellement en a, b, c,.. ef o;

a® La section abcde sera un poljrgone semblable à la base ABCDE.

Car i"* les plans ABC, abc^ étant parallèles, leurs inter« sections AB, ab^ par un troisième plan SAB, seront parai- *i3y 5. lèles ^; donc les triangles SAB, Sa&, sont semblables, et on a la proportion SA : S^x : : SB : Sb ; on aurait de même SB : S& : : se : Se, et ainsi de suite. Donc^tous les côtés SA , SB, se, etc., sont coupés proportionnellement en a, &, c , etc. La hauteur SO est coupée dans la même proportion au point 0/ car BO et bo sont parallèles, et ainsi on a SO : So : : SB : Si.

a® Puisque ab est parallèle à AB, bc à BG, cd à CD, etc., Tangle aie = ABC, Taugle ie^f = BCD, et ainsi de suite. De plus, à cause des triangles semblables SAB, Sai, on a AB : ab i :SB:Si; et à cause des triangles semblables SBC, Sic, on a SB : Si : : BC : bc; donc AB : ai : : BC : bc; on aurait de même BC : bc : : CD : cd^ et ainsi de suite. Donc ^ les polygones ABCDE, abcde^ ont les angles égaux chacun à chacun et les côtés homologues proportionnels; donc ils sont semblables.

Corollaire. Soient SABCDE, SXYZ, deux pyramides qui ont même hauteur, et dont les bases sont situées dans un même plan \ si on coupe ces pyramides par un même plan parallèle au plan des bases, et quil en résulte les sections abcde, xjrz^ je dis que le^ sections abcde , xyz , seront entre elles comme les bases ABCDE , XYZ.

Car les polygones ABCDE, abcde ^ étant semblables, leurs surfaces sont comme les carrés des côtés homologues AB, ab; mais AB : ab: : SA : Sa; donc ABCDE :

abcde : : SA : Sa. Par la même raison, XYZ : xyz : : SX : Sr, Mais puisque abcxyz n'est qu'un même plan , on a aussi

LIVBE VI. ' 197

SA : Sa : : SX : &r; donc ABCDE : abcde : : XYZ : xyz; donc les sections aicde^xy-z^ son I entre elles comme les bases ABCDE, XYZ. Dono si les bases ABCDE, XYZ sont équivalentes, les sections. faites à égale hauteur sont pareillement équiyalentes.

PROPOSITION XV

THÉORXliR.

Deux pyramides triangulaires qui ont des bases équixfalentes et des hauteurs égales , sont équi^fd* lentes.

Soient SABC, sabc les deux pyramides dont les bases 6g.ai5. ABC, ahc^ que nous supposons placées sur un même plan, sont équivalentes et qui ont même hauteur TA; si ces pyramides ne sont pas équivalentes , soit sahc la plus petite, et soit Pix la hauteur d'un prisme qui, étant construit sur la base ABC , serait égal à leur différence.

Divisez la hauteur commune AT en parties égales plus petites que Ar, et soit A une de ces parties; par les points de division de la hauteur, faites passer des plans parallèles au plan des bases ; les sections faites par chacun de ces plans dans les deux pyramides , seront équivalentes *, telles *r4, que DEF et def^ GHI et ghi^ etc. Cela posé, sur les triangles ABC, DEF, GHI, etc., pris pour bases, construisez des prismes extérieurs qui aient pour arêtes les parties AD, DG, GK, etc., du côté SA; de même sur les triangles defy ghi^ klm^ etc.,, pris pour bases, construisez dans la seconde pyramide des prismes intérieurs qui* aient pour arêtes les parties correspondantes du côté ^a;tous ces prismes partiels auront pour hauteur commune k,

La somme des prismes extérieurs de la pyramide SABC est plus grande que celte pyramide ; la somme des prismes intérieurs de la pyramide sabc est plus petite que cette pyramide; donc par ces deux raisons la différence entre les

cor.

igS GÉOBfCTRlË.

deux sommes de prismes devra être plcis grande que la différence entre les deux pyramides.

Or à partir des bases ÂfiC, abe^ le second prUme extérieur DËFG est équivalent au premier prisme intérieur fiefa , puisque leurs bases DEF, def, sont équrvalenCes et qu'ils ont une même hauteur k ; sont équivalents par la même raison le troisième piisme extérieur 6HIK et le second intérieur gkidy le qtuitrième extérieur et le troisième • intérieur; ainsi de suite jusqu'au dernier des uns et des autres. Done tous les prismes extérieurs de la pyramide SABC, à lexception du premier ABCD , ont leurs équivalents dans les prismes intérieurs de la pyramide sabc. Donc le prisme ABCD est la différence entre la somme des prismes extérieurs de la pyramide SABG et la somme des prismes intérieur» de la pyramide sabc ; mais la diflféreDce de ces de^x sommes est plus grande q«te la différence des deux pyramides; donc il faudrait que le prisme ABCD fut plus grand que le prisme ABÇX ; or au contraire il est plus petit, puisqu'ils ont une même baAe ABC, et que la hauteur k du premier est moindre que la hauteur A^ du se* cond. Donc Thypothèse d*oii Ton est parti ne saurait avoir lieu ; donc les deux pyramides SABC, sabc , de bases équivdlentes et de hauteurs égales, sont équivalentes.

PROPOSITION XVI

TREORÂMB.

Toute pyramide triangulaire est le tiers du prisme triangulaifê de même base et de même hauteur, fig. ai6. ^^^^ SABC une pyramide triangulaire^ ABCDES un [Nrisme triangulaire de même ba&e et de méfvie hauteur; je dis que la pyramide est le tiers du prisme.

Retranchez du prisme la pyramide SABG, il reHera le solide SACDE, qu on peut eonsidérer conune une pyramide quadrattgttlaire dont le aoipknet est S, et ^ui 4 pour .

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base le parallélogrâ^mnié ACDE; tvrez k diagtotiale CE et conduisez le plan SGE qui partagera i«i pyramide ({nadranguiaire en deux pyramides triangulaires SAGE, SDCE. Ces d'eux pyramides ont pour hautcwr commune la pet*pendiculaire abaissée du sommet S sur le pian ACDE; elles ont des bases égales, ptiisque lès triangles ACE, DCE, sont les deux moitiés du même paraHéiogranime; donc les' deux pyramides SAGE, SDCE, sont équivalentes entre elles; mais la pyramide SDGE et k pyramide SABG otit des basés égales ABC, DES; elles ont aussi fnéfoe hauteur, car cette hauteur est k distance des plans pai-aHèles ABC, DES. Donc les deux pyramides SABC , SDGE , sont équivalentes ; mais on a démontré que la pyramide SDCE est équivalente à^ la pyramide SAGE ; donc les trois pyramides SABC, SDCE, SAGE, qui composent le prisme ABDsont équivalentes entre elles. Donc la pyramide SABC est le tiers du prisme ABD qui a même base etteiéme hauteur.

Corollaire. La solidité d'une pyramide triangulaire est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

PROPOSITION XVU.

THÉORÈME

Toute pj-rarm'de SASCDE a pour mesure le tf<?r.f **^-*'^du produit de sa hase ABCDE/)tfr sa hauteur AO.

Car en faisant passer les plans SEB , SEC , par les diagonales EB , EG , on divisera k pyramide polyçetiale SABGDE en plusieurs pyramides triangulaires qui auront toutes k même hauteur SO. Mais par le théorème précédent chacune de ces pyramides se mesure en mukîpliant chacune des bases ABE, BCE, GDE, par le liera de sa hauteur SO; donc k Mmme des pyramides triangulaires, ou k pyramide polygonale SABGDE, aura pour mesure Id somme des triangles ABE, BCE, CD£, ou le polygone ABGDE, multiplié par \ SO ; donc toute pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire I. Toute pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur.

Corollaire IL Deux pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases, et deux pyramides de même base sont entre elles comme leurs hauteurs.

Scolie. On peut évaluer la solidité de tout corps polyèdre en le décomposant en pyramides , et cette décomposition peut se faire de plusieurs manières : une des plus simples est de faire passer les plans de division par le sommet dun même angle solide; alors on aura autant de pyramides partielles qu'il y a de faces dans le polyèdre , excepté celles qui forment langle solide d'où partent les plans de division.

Ces pyramides elles-mêmes pourront être décomposées en tétraèdres j en divisant leurs bases en triangles.

PROPOSITION xvin.

THEOREME.

Si une pjramiiie est coupée par un pUm parallèle à sa base, le imnc qui reste en étant la petite pyramide y est égal il la somme de trois pyramides qui auraient pour hauteur commune la hauteur du tronc , et dont les bases seraient la base inférieuf^e du trafic j sa base supérieure j et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

fig.ai7. Soit ABCDE une pyramide coupée par le plan abd parallèle à la base; soit TF6H une pyramide triangulaire dont la base et la hauteur soient égales ou équivalentes à celles de la pyramide S ABCDE. On peut supposer les deux bases situées sur un même plan ; et alors le plan abd^ pro-* 4ongé,détermineradans la pyramide triangulaire'une section fghy située à la même hauteur au-dessus du plan commun des base9 : d'où il résulte que la section^A est à la sec-