LIVRE vx. aoi

tion abd comme la base FGH est à la base AfiD*; et puis- *x4. que les bases sont équivalentes, les sections le. seront aussi. Les pyramides Sabcde , T^fghy sont donc équivalentes, puisqu'elles ont même hauteur et des bases équiyalentes. Les pyramides entières SABCDE, TFGH, sont équivalentes par la même raison ; donc les troncs MSDdab^ VCfHhfg^ sont équivalents, et par conséquent il suffira de démontrer la proposition énoncée, pour le seul cas du tronc de pyramide triangulaire.

Soit ¥GHhfg un tronc de pyramide triangulaire à bases fig.aig. parallèles : par les trois points F, ^, H , conduisez le plan F^H, qui retranchera du tronc la pyramide .triangulaire ^FGH. Cette pyramide a pour base la base inférieure FGH du tronc; elle a aussi pour hauteur la hauteur du tronc, puisque le sommet g est dans le plan de la base supérieure^*. ^

Après avoir retranché cette pyramide , il restera la pyramide quadranguIaireg;/>(HF, dont le sommet est g et la base /XHF. Par les trois poinsyj^, H, conduisez le plan /^H, qui partagera la pyramide quadrangulaire en deux triangulaires ^F/H, g/Mi* Cette dernière a pour base la base supérieure gfh du tronc, et pour hauteur la hauteur du tronc , puisque son sommet H appartient à la base inférieure : ainsi nous avons déjà deux des trois pyramides qui doivent composer le tronc.

Il reste à considérer la troisième gF/B. : or, si on mène ^K parallèle à /F, et qu'on imagine une nouvelle pyramide /FHK, dont le sommet est K, et la base F/H, ces deux pyramides auront même base F^H; elles auront aussi même hauteur, puisque les sommets gelK sont situés sur une ligne gK. parallèle à Ff, et par conséquent parallèle au plan de la base; donc ces pyramides sont équivalentes. Mais la pyramide yFKH peut être considérée comme ayant son commet eny^ et ainsi elle aura même hauteur que le tronc; quanta sa base FKH, je dis quelle

20^ OÉOAl^TRIE.

est moyenne proponionnelie entre les hAsesFGH, fgk. En effet, les triangles FRK^/gh, otit un angle égal ¥^==^^ et un côté égal FK==/^; on a <k>ttc FHK :/gh : ; FH:/Jl On a aitssi FHG : FHK : : FG : FK ou/g. Mai» ks triao* gles semblables FGH,^A, donnent FG :Jg: : FH :fh; dune F6H : FHK : : FHK ifgà; et ainsi k base FHK est moyenne proportionnelle entre les deux bases FGH, j^â. Donc 9 un tronc de pyramide triangulaire ^ à bases parallèles , équivaut à trois pyramides qui oi»t 'ponr hauteuv commune la hauteur du tronc , et dont les« bases sont la base inférieure du tronc, sa base supérieure, el une moyenne pi^oportionnelle entre ces deux bases.

PROPOSITION XIX

TfiÉOniMB.

fig.aiô. Si on coupe im prisme triangulaire dont ABC est la base, par un plan DES incliné à cette base y le solide ABCDES, qui résulte de cette section j sera égal à la somme des trois pyramides dont les sommets sont Dy E, S, et la base commune ABC.

Par les trois points S, A, G, faites passer le plan SAC, qui retranchera du priisme tronqué ABCDES la pyramide triangulaire S ABC : cette pyramide a pour base ABC et pour sommet le point S.

Après avoir retranché cette pyramide, il restera la pyramide quadrangnlaire SAGDE, dont S est le sommet , et ACDE la base. Par les trois points S, E, C, menez encore un plan SEG^ qui divisera la pyrami^le quadrangulaire en deux pyramides triangulaires SACE, SCDE.

La pyramide S AEG 9 qui a pour base le triangle AEG et pour sommet le point S , est équivalente à une pyramide EABCy qui aurait pour base AEG et pour sommet le point B. Car ces deux pyramides ont même base; elles ont aussi même hauteur, puisque la ligne BS, étant parallèle à cha*

LIVRÉ VI. îio3

cune des lignes AE, CD, est parallèle à leur plan ACE; donc la pyramide SAEC eèl équivalente à la pyramide EABC y laquelle peut être considérée comme ayant pour base ABC et pour sommet le point E.

Ija troisième pyramide SCDE peut être changée d abord en ASCD; ear ces deux pyramides ont 1» même base 6GD; elles ont aussi la même hauteur, puisque AE est parallèle au plan SCD ; donc, la pyramide SCDE est équivalente à ASCD. Ensuite la pyramide ASCD peut être changée en ABCD, car ces deux pyramides ont la base commune ACD; elles ont aussi la même hauteur, puisque leurs sommets S et B sont situés sur une parallèle au plan de la base. Donc la pyramide SCDE, équivalente à ASCD, est aussi équi* valente à ABCD; or, celle-ci peut être regardée comme ayant pour base ABC, et pour sommet le point D.

Donc enfin le prisme troinqné ABCDËS est égaA à la somine de trois pyramides qui ont pour base commune ABC, et dont les sommets sont respectivement les points D, E, S.

Corollaire. Si les arêtes AE, BS, CD, ^oat perpendiculaiires au plan de la bâSe, elles seront en même temps les hauteofs des trois pyramides qui composent le prisme tronqué; de sorte que la solidité du prisme tronqué sera exprimée par A ABCx AE -f- | ABCxBS+^ABCxCD, quantité qui se réduit à | ABC X (AE+BS+CD).

DE LA SYMÉTWE.

Deux points soitt symétriques par rapport à un plan j lorsque ce plan est perpendiculaire sur le mitieu €)e ls| droite qui joint ces deiix' points. — Ce plan est appelé plan de symétrie^

Deux figuras spnt symétriques par rapport k un plan , lorsque chaque point: de luYire d'elles a Sdn symétrique sur l'autre figure.

ao4 GÉOMETKIK.

PROPOSITION XX

Une ligne droite AB a pour ligne symétrique une autre ligne droite.

Prenons sur la droite donnée deux points A et B, et déterminons leurs symétriques A' et B' en abaissant des points A et B des perpendiculaires sur MN, et prolongeant ces perpendiculaires de longueurs égales à elles-mêmes; tirons A'B' et CD.

Pour démontrer que tout point O de la droite AB a son symétrique sur A'B', abaissons 01 perpendiculaire sur MN, et prolongeons cette ligne jusqu'à sa rencontre avec A'B'.

Si nous faisons tourner le quadrilatère ACBD autour de CD pour l'appliquer sur le pian CA'B'D, les angles ACD, A'CD étant droits, CA prendra la direction CA' ; et comme CA = CA', le point A' tombera en A. Par la même raison BD s'appliquera sur DB'; de sorte que AB coïncidera avec A'B'. De plus, à cause des angles droits OIC, O'IC, 01 prendra la direction 10', et le point O devant tomber à la fois sur A'B' et sur 10', tombera enO'. On aura doac 01 = 10'; donc enfin O' est symétrique du point O.

Corollaire. La même démonstration prouve que la ligne AB qui réunit deux points A et B, est égale à la droite A'B' qui joint leurs symétriques.