LIVRE VI

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PROPOSITION XXI

THEOREME.

V angle de deux droites AB, AG, est é^al à rangle formé par leurs symétriques A'B', A'C

Remarquons d'abord que le point de concours A des deux droites AB, AC, a pour symétrique le point A'; puisque le symétrique du point A doit se trouver à la fois sur A'B'etsUr A'C.

Cela posé, prenons sur AB et AC deux points B et C; soient B' et G leurs symétriques; et menons BG, B'C.

Les triangles ABC, A'B'C sont équilatéraux entre eux*; ''^^ donc l'angle BAC=B'A'C.

PROPOSITION XXIL

THEOREME.

Un plan a pour figure symAtrique un autre plaUy et ces deux plans forment des angles^ égaux as^ec le plan de sjrmétrie.

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G£f>M^AI£.

Soit AB l'intersection du plan MAB avec le plan de symétrie ABC, et comiiiiseft par AB un plan ABM' qui forme avec le plan de symétrie le nique angle que le plan MAB.

Il s'agit de démontrer que tout point P du plan ABM a son symétrique sur ABM^

Pour cela, abaissez P/? perpendiculaire sur ABC , et prolongez celte ligne jusqu'à sa rencontre P' avec le plan ABM' puis , menez pi perpendiculaire sur AB , et joignez PI, FI,

Les deux droites PI , P'I sont perpendiculaires sur AB et les angles PI/?, Plp sont égaux comme mesurant les die dres égaux MABC, M'ABC. Les triangles rectangles Plp F'ip sont donc égaux comme ayant le côté Ip commun et un angle aigu égal 5 donc P/7=P'/? ; donc P' est le symétrique de P.

Remarque. Si le plan dont il s'agit était parallèle au plan de symétrie ABC, il est évident qu'il aurait pour symétrique un autre plan parallèle à ABC, et à la même dis tfincve de ce plan. *

PROPOSITION XXIIÏ.

THEOREMB.

IJ angle dièdre formé par" deux /flans ABC, ABD , est égal à Fangle forrné par leurs symétriques A'B'C, ABD'.

UVRE VI. aQ7

Reii|4irqu.oiis d'ahord que I^ dr£>ite AB, iqt^rsectioD de deux plans ABC, ABD, a pour ^jiwétrique A'B', interdiction 4^8 plans A'B'C^ A'B'D'.

Cela posé, au point B formons 1 angle rectUigne CBD qui mesure Tangle dièdre AB.

Formons de même au point B', £y tué trique de B, langle rectiUgne CB'D' qui mesure i^ dièdre A'R\

La droite BD, située dans le plan ABD^ aiir^ ppur symétrique une droite passant par le point B' et située dans le plan A'B'D'. De plus, comme BD e^t perp^diccilaire sur AB^ la droite symétrique de BD sera perpendiculaire sur A'B'*; ce sera doncB'D'. Oq yerr^ de même queB'C est ♦ai, symétrique de BC ; donc Tangle CBD=C'B'D' *• *,i.

PROPOSITION XXIV

THÉORÈME

Deux poljèdres symétriques par rapporta unplajiy ont I® leurs faces égaies chacune à chacune; *i^ leurs orales solides homologues, symétriques *.

»LtT. 5.

I** Soient A, B,C, D,les sommets d'une face de l'un des polyèdres ; on sait déjà que leurs symétriques A', B', C, D', sont dans un même plan*. De plus, les polygones ABCD, #„^

A'B'C'D' sont égaux, car ils ont les angles égaux et les 20 et ; côtés égaux chacun à chacun *.

a? Deux angles solides homologues B et B', ont leurs ai. faces égales*; en outre, leurs dièdres sont égaux chacun à 23. chacun; enfin, si l'on fait coïncider la face A'B'E' sur son égale ABE , de manière que les autres arêtes des deux angles solides tombent d'un même côté de la face commune, on reconnaît que les autres angles plans des deux angles solides sont disposés dans un ordre inverse; donc l'angle solide B' est le symétrique de B.

Corollaire I. On conclut delà qu un polyèdre P n a qu*un seul symétrique. Car soient F et P" deux polyèdres symétriques de P construits par rapport à des plans de symétrie différents. Les faces de ces polyèdres sont égales entre elles comme étant respectivement égales aux faces du polyèdre P. De plus , leurs angles solides étant symétriques des angles solides de P, seront égaux entre eux ; donc les polyèdres P' et P" seront superposables.

Corollaire II. Si Ton décompose un polyèdre P en pyramides triangulaires qui aient toutes pour sommet commun un des sommets du polyèdre j à chacune de ces pyramides correspondra, dans le polyèdre symétrique P', une pyramide symétrique.

On voit donc que deux polyèdres symétriques sont décomposables en un même nombre de tétraèdres symétriques chacun à chacun.

Scolie. Deux polyèdres qui ont leurs faces égales cha* cune à chacune, et leurs angles solides symétriques, sont toujours dits symétriques, quelle que soit la position qu*ils aient Tun par rapport à l'autre ; mais il y a lieu de remarquer que la symétrie n'existe plus que quant à la forme des solides.

IV. B. Les angles solides bomologoes sont ceax dont les sommets sont .%jmé* triques.