LIVRE I. l

petit que l'aogle D, il 6'ensuiyrait que k côté BC est plus petit que EF : or, BC est égal à ËF ; donc langle A ne peut être ni plus grand ni plus petit que langle D; donc il lui est égal. On prouvera de même que Tangle B=Ey et que l'angle C = F.

ScoUe. On peut remarquer que les angles égaux sont opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux A et D sont opposés aux côtés égaux BC, EF.

PROPOSITION XIII

THÉORÈME

Dcuis un triangle isocèle , les cingles opposés aiix côtés égaux sont égaux.

Soit le côté AB=:^ AG , je dis qu'on aura langle G = B. fig. a».

Tirez la ligne AD du sommet A au point D, milieu de la bctse BC^ les deux triangles ABD, ADG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun , savoir, AD commun, AB:=AC par hypothèse, et BD=DCpar construction j donc, en vertu du théorème précédent| l'angle B est égal à langle G.

Corollaire. Un triangle équiiatéral est en même temps équiangle, c-est-à-dire quil a ses angles égaux.

Scolie. L'égalité des triangles ABD, AGD, prouve en même temps que Tangle BAD =s DAC , et que langle BDA = ADC; donc ces deux derniers sont droits; donc la ligne menée du sommet d!un triangle isocèle au milieu de sa basey est perpendiculaire à cette base^ et divise V angle du sommet en deux parties égales.

Dans un triangle non isocèle on prend indifféremment pour base un côté quelconque, et alors son sommet est celui de langle opposé. Dans le triangle isocèle on prend particulièrement pour hase le côté qui n'est point égal à l'un des deux autres.

t6 G£OM£TRIE.

PROPOSITION XIV

THÉORÈME

Si dans un triangle deux angles sont égaux ^ les côtés opposés sont égaux.

Soit Fangle ABC=ACB, je dis que le côté AG sera égal au côté AB.

Faisons un triangle A'B'C égal au triangle ABC; de sorte que l'angle B=B', C = C' et BC=B'C'.

Superposons le triangle A'B'C sur ABC, en le retournant de manière^que le côté B'C s'applique sur BC , mais le point C en B, et le point B' en C. L*angle C = C= B; donc C'A' prendra la direction BA; on verra de même que B'A' prendra la direction GA. Le point A' tombera donc en A; et l'on aura A'B'=AC, et par conséquent AB==: AG.

PROPOSITION XV

THÉORÈME

De deux côtés dun triangle y celui-là est le plus grand qui est opposé à un plus grand (vigle , et réciproquement , de deux angles d'un triangle , celuilà est le plus grand qui est opposé à un plus grand côté.

fig. 3o. jo 5qJj l'angle C > B, je dis que le côté AB opposé à Tangle C est plus grand que le côté AG opposé à l'angle B.

* P'. 14. Soit fait l'angle BGD = B ; dans le triangle BDG on aura * BD = DG. Mais la ligne droite AG est plus courte que AD+DC, et AD+DG= AD-+-DB=AB ; donc AB est plus grand que AG.