LIVRE VI. ai

blables comme ayant un dièdre égal compris sous deux faces semblables et semblablement disposées.

Si nous passons aux tétraèdres SDCF, sdef^ nous voyons que les triangles SDC,5^i^, sont semblables comme faces homologues de tétraèdres semblables ; de même FDC est semblable ^fdcy à cause de la similitude des polygones YVHCjfedc, D'ailletirs les dièdres FDCA ^fdca^ sont égaux par hypothèse, et les dièdres SDGA, sdca^ sont égaux, à cause de la similitude des tétraèdres SDGA., sdca^ donc les dièdres YJiCS^fdcs^ sont égaux comme différences de dièdres égaux; donc enfin *, les tétraèdres SDCF, sdcf^ sont semblables, et ainsi de suite

Remarque I. Il faut remarquer que la décomposition précédente peut s^effectuer en partant de deux sommets homologues quelconques.

Remarque II. On conclut encore du théorème qui' vient d*étre démontré, que, dans deux polyèdres semblables , deux droites A, a, qui joignent des sommets homologues, sont proportionnelles à deux arêtes homologues, B, d, des deux polyèdres.

En effet, les droites A, a seront les arêtes homologues de deux tétraèdres semblables faisant partie des deux po-^ lyèdres; et ces tétraèdres renfermeront nécessairement deux arêtes homologues G, c, des deux polyèdres; on aura donc

A : rt : G c.

D'ailleurs, dans les polyèdres semblables, les arêtes homologues sont proportionnelles à cause de la similitude des £ices.

On a donc aussi

donc enfin, A : a : : B : ^.

a 1 4 GÉOMÉTRIE.

PROPOSITION XXIX

THÉORBMB.

Deux polyèdres composés dun même nombiie de tétraèdres semblables et semblablement disposés y ont les faces semblables chacune à chacune y et les angles solides homologues égaux , et par conséquent sont semblables.

Soient SABC, SADG, SCDF,.... les pyramides qui composent le premier polyèdre ; sabc , sadc , scdf^ lés pyramides qui forment le second.

1° Les ti*iangles DCA, CAB, qui forment une &cedtt premier poljrèdre, sont re^ctitetnent semblables aux triangles dca , cah , ^itués à la surface du second polyèdre, à cause de la similitude des tétraèdres. De plus , les triangles DCA, CAB, étant dans un même plan , je dis qu'il en est de même Aes triangles dca^ cah.

En eQet, à cause de la similitude des tétraèdres SCAfif et scad^ SABC et sahc^ les dièdres SCAD , SGAB , sont respectivement égaux aux dièdres scad^ sàab ; ôr, là somme des deux premiers est égale à d^ux droits; donc la somme des deux derniers vaut deux droits; donc enfin, les polygones DCBA , dcbay sont semblables , comme étant composés d'un même nombre de triangles semblables et sem-