LIVRE VI

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biabl«ftient disposét; et il en est de même des autres faces prises deux à deux.

Q,"* On voit encore que l*angle dièdre SA , somme des dièdres CSAD , CSAB , est égal au dièdre sa, somme des dièdres csad, csaby respectivement égaux aux premiers ; et qu*en général deux angles dièdres homologues des deux polyèdres sont égaux comme étant les sommes d angles dièdres homologues de tétraèdres semblables.

Il en résulte que deux angles solides homologues A et a sont égaux, car ils ont leurs faces égales chacune à clia-. cune j semblablement disposées et également mclinées.

Scolie, La démonstration qui vient d^étre exposée justifie la définition qui a été donnée des polyèdres semblables; car on peut toujours former des polyèdres composés d*un même nombre de tétraèdres semblables et semblablement placés.

En effet, décomposons le polyèdre SABDEFG en pyramides triangulaires , qui aient toutes leur sommet en S j et soient SBDC, SADB, SDAE,.... les tétraèdres dont la somme compose le polyèdre.

Si nous divisons dans le même rapport toutes les arêtes partant du point S, aux points n, b^ e, </,.... les tétraèdres &bdùi Sadb.»,j seront respectivement semblables* aux tétraèdres SBDG, SADB....) et seront semblablement disposés^ leur somme composera donc un second polyèdre, qui, d'après le théorème précédent, sera semblable au premier.

ai6 GiOMiTAIE.

Ce second polyèdre pourra ensuite être placé dans une position quelconque par rapport au premier.

PROPOSITION XXX

THÉORÈME

Deux tétraèdres semblables sont entre eux comme les cubes de leurs arêtes Ihomologaes.

Puisque les tétraèdres sont semblables , on peut porter le plus petit sur le plus grand , de manière qu ils aient Tangle solide S commun, et alors les bases abc^ ÂBG, seront parallèles, puisque les arêtes SA, SB, SC, sont divisées dans un même rapport aux points a, ^, c.

Soit encore SO perpendiculaire sur ABC.

I/es triangles ABC, ahc , sont semblables ; on a donc :

ABC xabcw AB : ô* (i).

D'ailleurs on a aussi :

AB : ai : : SA : ^a et SO: ^o: : SA : ^a;

d*où il résulte , à cause du rapport commun , SO : «o : : AB : ai (a).

Multipliant par ordre les proportions (x) et (a), et divisant les termes du premier rapport par 3, il Tient:

ABC X Ç : ate X Ç :: Âb":^;,