LIVRE VI

dtmt le centre est C. Du point C menet la perpendiculaire CO sur' le plan AMB, et difTérentes lignes CM , CM , à différents points de la courbe AMB qui termine la section.

Les obliques CM, CM, CB, sont égales, puisqu'elles sont des rayons de la sphère ; elles sont donc également éloignées de la perpendiculaire CO; donc toutes les lignes OM, OM, OB, sont égales; donc la section AMB est un cercle dont le point O est le centre.

Corollaire I. Si la section passe par le centre de la sphère, son rayon sera le rayon de la sphère; donc tous les grands cercles sont égaux entre eux.

II. Deux grands cercles se coupent toujours en deux parties égales; car leur intersection commune, passant par le centre, est un diamètre.

III» Tout grand cercle divise la sphère et sa surface en deux parties égales; car si, après avoir séparé les deux hémisphères, on les applique sur la base commune en tournant leur convexité du même côté , les deux surfaces coïncideront Tune avec l'autre, sans quoi il y aurait des points plus près du centre les uns que les autres.

IV. Le centre d'un petit cercle et celui de la sphère sont sur une même droite perpendiculaire au plan du petit cercle.

V. Les petits cercles sont d'autant plus petits qu'ils sont plus éloignés du centre de la sphère; car plus la distance CO est grande, plus est petite la coi-de AB, diamètre du petit cercle AMB.

VI. Par deux points donnés sur la surface d'une sphère, on peut faire passer un arc de grand cercle; car les deux points donnés et le centre de la sphère sont trois points qui ^déterminent la position d'un plan. Si cependant les deax points donnés étaient aux extrémités d'un diamètre , alors ces deux points et W centre seraient en ligne droite, et il y aurait une infinité, de grands cercles qui pourraient passer par les deux points donnés.

aaO GEOMBTRIE.

VU. la position d*un petit cercle sur la surface de la sphère serait déterminée par trois points de sa circonférence.

PROPOSITION II

THEOREME.

Tout plan perpendiculaire à V extrémité (F un rayvn est tangent à la sphère.

fig. aa6. g^jj F^Q un p]gn perpendiculaire à Textrémité du rayon OA; si Ton prend un point quelconque M sur ce plan , et qu'on joigne OM et AM, langle OAM sera droit, et ainsi la distance OM sera plus grande que OA. Le point M est donc hors de la sphère; et, comme il en est de même de tout autre point du plan FAG, il s*ensuit que ce plan n*a que le seul point A commun avec la surface de la sphère; *dcf. 3. donc il est tangent à cette surface*.

Réciproquement, tout plan tangent FAG est perpendi* culaire sur le rayon OA qui Ta au point de contact.

Car si on joint au centre un point quelconque M de ce plan, OM sera plus grand que le rayon OA, puisque le point M est extérieur à la sphère. OA est donc la ligne la plus courte qu*on puisse mener du point O au plan FAG; donc OA est perpendiculaire sur ce plan.

Corollaire. Par un point de la sphère on ne peut mener qu'un seul plan tangent.

PROPOSITION III

THÉORÈME

Vinlersection de deux sphères est un cercle dont le plan est perpendiculaire à la ligne qui joint leurs centres, et dont le centre est situé sur cette ligne.

Par la ligne OC qui joint les centres des deux sphères,