LIVRE I. I
a** Soit le coté AB > AC, je dit qae Fangle G , opposé au coté AB, sera plus grand que l'angle B, opposé an côté AC.
Car si on avait G < B, il s'ensuivrait , par ce qui vient d'être déikiontré , AB < AG, ce qui est contre la supposition. Si on avait G =B; il s'ensuivrait *AB = AC, ce qui ert * F* i4« encore contre la supposition ; donc il faut que Tangle G soit plus grand que B.
PROPOSITION XVL
THBOHBMB.
iXan point donné hors (fiuie droite, i^ on peut abaisser une perpendiculaire sur cette droite ; a* on n* en peut mener quune.
\^ Soit A le point donné et GD la droite donnée |[ faisons tourner la parde supérieure du plan autour de la droite GD jusqu'à ce qu elle vienne s'appliquer sur la partie inférieure ; et soit A' la positron que prendra li^ point A; joignons AA^ Si l'on replie de nouveau la portion de plan A'CD autour de GD, jusqu'à ce que le point A' ail repris sa position primitive, la ligne A'E s'appliquera exactement sur AE; l'angle A'EC recouvrira donc exactement langle AEG; et comme ces angles sont adjacents, l'angle AEG est droit ; donc AE est perpendiculaire sur GD«
a"* Supposons que du point A on puisse mener sur GD deux perpendiculaires AE, AB; prolongeons Tune délies AE d'une quantité EA' = AE, et joignons A'B.
Le triangle AEB est égal au triangle A'EB; car les angles AEB, AEB sont droits; le coté AE r= A'E et le coté BE est
l8 GB0^4X4|.l£.
4^piiMnuD.9 on «Il «oiiichtf que lapgleABE'^SRA-' : or ratifia A3E ^st droit, dlpnq^A' Test a^ussi. MaU sile9 an^s aclj^^Dts ABE, EttA' y^ent ensemble dwx anglea droits, il faut quo la. ligue ABA' soit drgite^' d où il ré^le qu*ea- Ure,d€;ux pointa A, et A' p» pourrait iwp^^ d^MX ligues drQlV9S|, ceq^i est iinpossit>le« DoQp> etç^ i.; , ..
PROPOSITION XVII
THÉORÈME
fig. 3i. &' ^o/i /?oi/2/ A situé hors c(ufie droite DE o/i pfène 1(1 perpendiculaire AB iW' cette dtmte ,' ^^ différentes obliques AE, AC, AD, e^c, à différents points de cette même droite :
\° La perpendiculaire AB sera plus courte que toute oblique ;
a° Les deux obliques AC> AE, menées de part et d! autre dj^ la perpendiculaire à des distances égales BC, BE , seront égales;
y De deux obliques AC et AI>, ou AË et AD ^ mer nées comme on voudra , celle qui s* écarte le plus de la perpendiadaire sera la plu$ longue.
Prolongez la perpendiculaire AB d'une quantité BF=AB, et joignez FC, FD.
i** Le triangle BCF est égal au triangle BCA, car Tangle droitCBF=GBA, le côté CB est commun, et le côté * pr. 6. BF=BA; donc * le troisième côté GF est égal au troisième AC, Or, ABF, ligne droite, est plus courte que ACF, ligne brisée; dooc AB| inoitié de ABF, esij plus courte que AC, luaitié de ACF ; donc, i^ la perpendiculaire e^t plus coui;|e que toute oblique.
A^ Si on suppose BE = BÇ, comme on. a en cH^re«AB commun, et Tangl^ ABE=ABC^ il. s c^uauit; que le .triapgle
tiivnB r. 19
ABS esc égal au triangk ABC ^ ; ianc leê c6të§ A£,> AG «p^ q sont igâui ;âone 2"", iléweiéibKifilefi^qw d'^écarteni ëgatemewC de la perpendiculaire sont égales.
3p Dana^ le «iaii||^ DFA la somme dies ligne». AC, &F, est pkia petits-^ «fue^fa ÊoaxfM àes eitést AD, DF ; doiicA€, * pr. 9. moitié delà ligne A^lf", est piM cooH;e que AD, moitié'^ ADF; donpS^ les.oMifÉesqoi s'étarteAtile» plus ^ la 'perpendiculaire sont les plus louguesv
Corollaire I. La perpendiculaire mesure la vraie distance d un point à une IigBe>, piJsqU>l^ est plus courte que toute oblique.
II. D*un même point on ne peut mener à une même ligne trois droites égales : car si cela, était, il j aurait 4*un même côté de la perpendiculaire d^ux obliques égales, c^ qui est impossible.
PROPOSITION XVIII
«rflÉoïkim.
Si. par le point C, milieu de la dvoiJle AB^ imiélèêfe fig. 3a. la peiy)e»dicuimre EF sur.^eite droite y i^ chaque point de h perpendieidaire sera égaèement distam A^s deux eigtihéntités de la ligne AB; i* foutpoifit ^iêué'Aoïtj dé la ^rpendicufai^e sera inégalement distant des marris extrémités A et B.
Qir, I* puisqu'on suppose AC=CB, fes deux oblfqiVes ' ' AD, Dtt', s^écartettt égafement de là perpendlcidiàire; cïoncJ elles sdiit égales, fl'en est de même des deux oblique^ AË, EB, des deux AF, FB, etc.; donc 1% tout point de la perpendiculaire est également distant des extrémités A et B.
a® Soit I un point hors de la perpendiculaire; si on joint lA, IB, Tune de ces lignes coupera la perpendiculaire en D^ d'où tirant DiB, on aura DB ss DA. Mais la ligne droite IB est plus petite que la ligne brisée ID-hDB, ^X
aO GEOMfiTAIE.
IDh-DB=ID+D A=IA; donc IB < I A ; donc a%tout point ^r^. de la pt^rpendiculaire est. inégalement distant des extrémités A et B.
, Remarque. On appellie Ueiu géométrique xane .Mfgae dont tOMs les points jouissent d une propriété commune, à lesqlusiou de tous les autres points du plan. .
La ligne EF est donc le lieu géométrique des points également distants des points A et B.
PROPOSITION XIX
THBORÈMB.
fig. 33. Dewt triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont F hypoténuse égale et un côté égaL
Soit Thypoténuse AC=DF, et le côté AB= DE, je dis que le triangle rectangle ABC sera égal au triangle rectangle DEF.
L'égalité serait manifeste si le troisième côté BG était égal au troisième EF : supposons, s'il est possible, que ces côtés ne soient pas égkux, et que BC soit le plus grandi P/ëhez BGcs EF, et joignez A6. Le triangle AB6 est égal au triangle DEF; car l'angle droit B est égal à l'angledroit E, le coté AB=DE, et le côtéBG=:£F; donc ces deux triangles soEkt
«pr.6. égaux % et on a par conséquent AG= DFj mais^ parhypor thèse, DF=AG; donc AG=AG. Mais l'oblique AG ne pe^t
*pr.i7. être égale à A6 % puisqu'elle est plus éloignée de la. perpendiculaire AB; donc il est impossible que BG diffère de EF; donc le triangle ABG est égal au triangle DEF.
PROPOSITION XX
THEOREME.
Deux triangles rectangles sont égaux quand ils ont Vhypoténuse égale et un angle égal.
LIVAS I.
ai
Soit AC=±=DF et Tangle Ai^D, jeporleDEFsar ABC , de manière que DF s'applique sur AC; Tangle D étantagalà l'angle A, DE prendra ku direction AB,' et en même temps FE prendra la direction GB, car autrement on pourrait du point C abaisser deux perpendiculaires sur AB. Le point E tombera donc en B , eties dèuc triangles coïncideront patiàitémènu
PROPOSITION XXI
THÉOREMB.
1*» Tout point M pris sur la bissectrice (*) (t un angle BAD est également distant des côtés de cet angle. a** Tout point E situé hors de la bissectrice est inégalement distant des côtés de V angle.
i"" Du point M situé sur la bissectrice de langle BAD^ abaissez MD et HC respectivement perpendiculaires sur AD et sur AB \ les triangles rectangles MAD, MAC , sont égaux, car ils oiit l'hypoténuse MA commune, et les angles MAD, MAC égaux par hypothèse; doncMD=MC.
^ Du point E situé hors de la bissectrice, menez ED et EB respectivement perpendiculaires sur AD et sur AB, et du point M , où la ligne CD coupe la bissectrice, abaissez
il 1 < I I il II ■ I I î I ili ■ ■■
(*) La bissectrice d^uu aogle est U ligne qui dirîse cet aogle ea deux parties égales.
AU GÉOBCÉTRIE.
ftC perpendicnlaire 4ur' AB; «nfni joignez ECL Dans le iiiangle CEM on a
GE<BIG-hME; etoomme M€.a=:|fD, on a, ,CE<£D; or BE<GE,
doiic àfoHûm; ' £E <ED.. '-
Seolie», La bûeeotiioe^l un angle «st lé beia '^^mëcruffie des points également distants des deux côtés de cet angle.
PROPOSITION XXIL
THBORBME.
Deuj: droites Ad, BD^perpeneliculairessur une même dwite CD, sont parallèles.
Car SI elles se reneontraient en un poîpl Jjjj par exemple , on pourrait de ce point abaisser deuxperpenaiculaires sur CD. • ' - ' •
DBMAHDB.
Si deux, droites AB , DC , sont Tune perpendiculaire , et t autre oblique sur CB, ces deux lignes prolongées se rencontreront.
Nous admettrons ceUe proposition corome évidente.
LltllE T» a3
PROPOSITION XXlil.
THÉORBMB.
Par un point on peut mener une parallèle à une droite , et on n^ en peut mener quLune seule.
Du point A abaissez AD perpendiculaire sur DC, et au même point menez AF perpendiculaire sur AD, les deux droites AF et DC seront parallèles *• * pr. aa.
Maîmenant je)dî» que toule autre droite A6 menée par le point A ne serait pas parallèle à DG^car DG étant perpen-^ fibcKknpesur AS^ AG est obliqufe par rapport a cette Itgiie.
PROPOSITION XXIV
THTOI^SMB;
Siâeuxdtoiîes^ CD, ÀB, sontparatlètes^ toute droite FH perpendiculaire sur Vune délies AB, est perpendi^ culaire sur Vautre CD.
Il est Jabord évident que FH doit rencontrer CD; au- fig, ^^^ trement on pourrait pai* le point F mener deux parallèles à CD. Enfin FÔ est perpendiculaire sur CD ; car sî là ligne CD était obli(|ue sur FH, elle rencontretait la droite AB perpendiculaire sur FH, ce qui est contre rhypotbèse.
PROPOSITION XXV
THEOREME.
Deux droites AB, Cti parallèles aune troisième EF sont parallèie^s entre -ell^^. ■.. . . <\
24 GÉOViUtlE.
Car 51 les droites AB, CD se rencontraient en un point M, on pourrait par ce point mener deux parallèles à EF.
DBFINITIOHS.
Lorsque deux droites AB, CD sont coupées par une transversale EF, il y a huit angles formés aux points dl intersection 6 et H.
Les quatre angles (i), (4), (5), (8), compris entreles deux droites AB et CD sont appelés angles internes. Les quatre autres sont appelés angles externes.
Deux angles tels que (ï) et (5)^ situés de part et d'autre de la sécante y internes et non adjacents, sont appelés alternes-internes.
Deux angles tels que (8) et (a), situés d'un même côté de la sécante , Fun interne, l'autre externe et non adjacents, sont appelés angles correspondants.
Enfin des angles tels que (a) et (6), si tués de part et dautre de la sécante, externes et* non adjacents, sont appelés alternes-externes.
PROPOSmON XÎVL
THÉORÈME
Deux parallèles forment avec une transversale : !*• Des angles alternes-internes égaux; 2*» Des angles alternes-externes égaux; 3® Des angles correspondants égaux ;
LIVAB 1. a 3
• 4^ Des angles intérieurs dtui même côté de la sevante , dont la somme est égale à deux droits.
I** Soient les parallèles AB,CD coupées par la transversale GH. Du point O, milieu de EF, abaissez OM perpendtcblaitè élil^ AB; cette ligne* serii également perpendiéulairesttr CD.' Les triaifgtes iféctangles MOE^ ONF, sont ^ux, car l'est hypoténuses OË, OF^ sont égales par construction, et les angles MOE,FON, sont égaux comme op-: posés par le sommet. De Fé^aAité de ces triangles -on conclu i que les angles alternes-internes MEO; OFN sont égaux.
On voit aussi par là que les angles BEF^EFC, sont égaux, car ces angles sont respectivement les suppléments des angles MEO, OFN.
i^'lLcis angles alternes-externes GEB, GFH,sonc égaux ,. car ib sont opposés par le sommet aux angles alternes-in-' ternes MEO, OFN.
3*'Ijes angles correspondants GEB,EFD, sontégaux> car* GEB=AEF, et AEF=EFD.
'4^ La sr^mnie des angles BEF,EFD est égale à deux droits, car ôii a HEF-^AEF= aS et aÉF = EÏ'D^
PROPOSITION XXVU,
THÉORÈME
Réciproquement^ si deux droite^ font aj^^c une {rans^ versale
Des angles aUernes^internes égaux , Ou des angles aUernes^xternes égaur , Ott-des-'Ongle^ correspondants égaux ,
a6 GiOJflÎTitlE.
Ou des angles intérieurs dun même tôié de la^sé'cante^ dont iu somme soit égak à deux droits ; Ces droites sont parallèles.
.1° Salant les deux droites AB» ÇO co«p^. ff^M ^aps* veraale GH ; li les aaglea ^tero<esJnteriie^ ASP^Elf^D, sont égaux, AB ser^parall^le à GD$ âvurewwt on poufniit parle point E.fpener un<e parallèle El^à CD ; mai$ 2^0^^ le^ si^g\e& lËF^ ËFD, seraient égaux oomxne alternes -internes, .et comme par hypothèse A£Fs=EFD} on aurait A£F=;=IEF j; ce qui est absurde.
â"" Si les angles alternes^externes G£B| GFHsontégaMx^ les angles AEF, EFD, qui sont opposés par leaosunet aux premiers^ seront égaux; et d après ce qui vient d*étre démontréy AB sera parallèle à CD.
3° Si les angles correspondants GEB, ËFDi,9QQt'égf(u^. comme GEB est égal à AEF, on aura AEF=i;£FDjid9nc AB est parallèle à CD.
4^Si la somme des angles BEFy.£FD e^l égale à ideux droits, comme BEF-4-AEF=a\on en conclu^ A£F^;;=£t*Di. donc AB est parallèle à CD.
PROPOSITION XXVIII
THÉOBÈMÊ.
f)ctLc angles qui ont leurs côtés pfimllèlesSiont^égûujc ou supplémentaires.
i"" Soient ABC, DEF , deux artgles dont les câtés sont parallèles et dirigés dans le même sens. Ces angles seront égaux. En effet , les angles DLG, DËF^ sont égaux oomme
afigkes coil^spoirdants ; mdis' par la tfiéme raison DLC= ^ ABC, donc ABC=ïDEF.
la*" Soieiit AeoK angles ÂBC, MEN, doht tes c6tés sobt paraHëliM^ miiis diHgés en sens comra{l*e, ces anglêis seront ëgànr ; éà» Mfâf = DEF et DEP = ABC.
9° &tûn 'è$ux angles ABC, DEM, dont les côtés sont parallèlcfs, mais dont deux c6tés BA et ED, sèivt dirigés dans le métne sens, et les deux autres BC et EM, en Sens contraire^ sont supptémenuires; c*ar DEM est le isupplémevt de DEF, et DEFss ABC.
PROposif ION xxix.
THBORBBCB.
Si deux angles ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun, ces angles seront égaux ou supplémerUaires,
Soient BAC, DEF deux angles dortt léàeôléj'sdill perpendiculaires chacun à ehaciim. Menons pai^ \^ p^oftlt'A Une ligné AI, perpertdîculait^ à ÀB,et une droite AH^ perpendiculaire à AO; les droites AI , AH , seront respectivement parallèles aux droites DE , EF , et dirigées dans le litéoie sens; donc fangle lAH est égpl à DGF; mais on a
IAH-t-HAB=:?i^'-*«^ et BAC4-HAB = i*
dôiieiAU;x^^AC.
a8 GEQM^TBIE.
$çolie.<^ oxï . ^nfil^érait; l!angle formé par la droite EF et le prolongement de DE^ on verrait; que l'angle FEG e^t supplémentaire de langle KiC.
PROPOSITION XXX
, THEOREME.
La somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits.
Menez AE parallèle à BC, et prolongez AG; les angles AiCB^ EAD^ sont égaux comme angles corret^pondar^ts , par rapport aux parallèles BC^ AË^coùpéa» pi^, ta! transversale AG. Les angles GBA^BAE, sont aussi égBwn eonunè angles alternes^internes , par rapport . aux p^ralllÈd^s BG , AE, et à Ja sécante AB^ donc Ja somme des angles du triangle est égale à la somme des trois angles GAB> BAE, EAD^iorpiés autour du point A, dun même ooté de la droite AG. Or, cette dernière somme est égale à a- droits) donc la première est égale à 2t droits.
Corollaire I. Dans tout triangle, il ne peut y avoir qu'un angle droit , et à plus forte raison qu*un angle obtus.
II. Dans tout triangle rectangle , la somme des deux angles aigus est égale à un droit.
III. Quand on connaît deux angles d'un triangle ou simplic^ept. leur ^omme, on obtient le . troisième en retranchant oette sofnme de deux droits.
. , IV4 Langle extérieur BADj formé par>le„côté BA et.le le^prj^longement de.AÇ, est égal.. à la somme des deux angles; intérieurs CBA/BCA.
PROPOSITION XXXI
THÉpRÈME.
La somme des angles intérieurs d^Uftpd/gûné am^
LIVKE I. 29
vexe est égale à autant défais dêiix ojigles djvits qu*il y a de côtés moins deux.
Par un des sommets A^ menons des diagonales à tous fig. 43. les sommets non adjacents; le polygone sera décomposé en autant de triangles qu*il y a dj& côtés moins deux j car ces différents triangles peuvent être considérés comme ayant pour sommet commun le point A , et pour bases les différents côtés du polygone, excepté les deux triangles extrêmes qui contiennent chacun deux côtés du polygone* On voit aussi que la somme des angles de ces triangles est égale à la somme des angles du polygone; donc cette dernière somme est égale à autant de fois deux droits qu*il y a de côtés, moins deux. Si Ton représente par n le nombre de côtés du polygone , la somme des angles sera : 2 X (n — 2) ou 2/ï — 4*
PROPOSITION XXXII
tHÉOBEMEJ
Si Ton prolonge dans le mène sens tous les côtés d^un polygone conifexe , la somme des angUs exté^ rieurs ainsi formés est égale à quatre droits.
En effet, chaque angle intérieur) ajouté àTangle extérieur, donne une somme égale à deux angles droits. La somme des angles intérieurs et extérieurs est*donc égale à a/i droits (/i étant le nombre des côtés); et comme la somme des angles intérieurs est égale à 2/z — 4 ai^gl^s. droit», il reste 4 angles droits pour la lâothme des angles extérieurs.
3o GROMSTItlB.
PROPOSITION^ XXXIII
THBOaÈMS. ^
tes côtés opposés d^un paraUélogramme sont égaux ^ ainsi que les angles opposés, fig. 44. Tirez la diagonale BD, tes deux triangles ADB^ DBG, ont le côté commun BD^de plus, à cause des parallèles *pr.a6. AD, BC, l'angle AbB =DBC*, et à cause cTes parallèles AB, cri, l'angle ABD = BDC; donc tes deux triangles *i)r. 7. ADB, DBC , sont égaux * ; donc le côté AB, opposé à l'angle AXXy est égal au côte DC, opposé à I angle égatDBC, et pareillement le troisième côté AD est égal au troisième BC ; donc les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux.
En second lieu , de l'égalité des mêmes triangles il s'ensuit que l'angle A est égal à l'angle G, et aussi que Tangle ADC, composé des deux angles ADB, BDC, est égal à Vangle ABC, composé des deux angles DBG, ABD, donc les angles opposés d'un parallélogramitie' sont égaux.
Corollaire I. Donc deux parallèles AB, CD, comprises entre deux autres parallèles AD, BC, sont égales.
Corollaire IL Deux parallèles soht partout égalenofent distantes.
Car (^fig^ 4^0 ^ ^^ ^^ étant parallèles.} ^baiss^ des points H et G, HF et GE, perpendiculaires sur AB, ces droites seront parallèles , et seront égales comme étant comprises entre parallèles.
PROPOSITION XXXIV
THÉORÈME
fig. 44. Si dans un quadrilatère ABCD les côtés opposés sont égaux ^ en sorte quon ait AB=CD, el AD=::Bf!, les côtés égaux seront parallèles ^ et la figure sera un parallélogramme.
Car, en tii^pif.la diagonale: QP., les deux triangles ABD, BDC, auront les trois côtés égaux chacun à chacun;. donc
LSVRK I* 3»
ils seront égaux; donc Tangle ADB, opposé au côté AB, est égal à i'angk DBC, opposé au eolé CD; donc ^ le coté *pr. a;. AD est parallèle à BC. Par une semblable raison , AB est parallèle à CD ; donc \e quadrilatère ABGD est un parallélogramme.
Pïi^PQSlTION XXXV.
THBORÈMS.
Si deux côtés opposés AB, CD , d'un quadrilatère fig. 44* sont égaux et parallèles^ les deux autres côtés seront pareillement égaux et parallèles , et la figure ABCD sera un paraUét/ogramme.
SoU tirée la diagc^ale fiD; puisque AB est parallèle à CD, les angles alternes-internes ABD^ BDC>. spfit égau:^^ ; *pr.a6. daillattKS. le coté A&k DG, le côté ]PiB estcoimAmiy donc le triaoi^ ABD est égnl au triangle DBG*; d^nc le côijé AD *pr- 6. ss'BC^ Tangte ADB<= DBG, etpapoonséquent AD est parât lèle à BG; donc la figure ABCD est un parallélogramme.
PROPOSITION XXXVI
tes deâuttttàgonales AC, DB, d*un parallélogramme Bg. 45. se coupent mutuellement en deux parties égales,
Carmen comparant le triangle ADO au triangle COB, on trouve le côté AD='CB, l'angle ADÔ = CBO*; et *pr. 26. Vangle DAO = OCfe; donc ces deux triangles sont égaux*; *pr. 7. donc AO , qôté opposé à Tangle ADO , est égal à OC , côté opposé à ràngle OBC; donc aussi DO =0B.
Scolie^ Dans le cas du losange , les côtés AB, QC, étant égaux, les triangles AOB, OBC, ont les trois cQtés égaux chacun à chacun, et sont par conséquent égaux; d où il suit que Tangle AOB = BOG, et qu'ainsi les deux diagonales d'un losange se coupent mutuellement à anglesdroits.
Sa GÉOMKTIUE.
