X.1VBE VU. aa

Soit ABC un triangle sphérique quelconque; prolongez fig.aa4. les côtés AB , AC , jusqu à ce qu'ils se rencontrent de nouveau en D, Les arcs ABD , ACD , seront des demi-circonférences, puisque deux grands cercles se coupent toujours en deux parties égales*; mais dans le triangle BCD on a * i. lecôtéBC< BD-f-CD*; ajoutant de part et d'autre AB-f-AC, * 4. on aura AB+AC+BC < ABDh- ACD , c'est-à-dire, plus petit qu'une circonférence.

Remarque. Pour qu on puisse construire un triangle sphérique avec trois côtés donoé^i il faut et il suffit que la somme des trois côtés soit plus petite qu'une circonférence, et que le plus grand coté sait moindre que la sjQmme des deux autres. Car ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu on puisse construire un angle solide avec trois faces qui auraient pour mesures les trois côtés donnés. Et si l'on plaçait le sommet de cet angle solide au centre de la sphère^ les faces intercepteraient le triangle demandé.

PROPOSITION VI

THBORBME.

La somme des côtés ffun polygone sphérique con- %fexe est moindre qu'une circonférence de grand cercle.

Soit ABCDE un polygone sphérique convexe; et me- Bg.aaS. nous du centre Ode la sphère les rayons OA,OB,OC, OD, OE , nous formerons ainsi un angle solide qui sera convexe, et dont les angles plans AOB, AOC, .... ont pour mesures les arcs AB, BC, CD. ... ; or, la somme des angles plans qui forment Tangle solide est moindre que 4 droits; donc la somme des arcs AB, BC, .... est moindre qu'une circonférence.

DEFINITIONS

L Le pôle d un cercle de la sphère est l'extrémité du diamètre perpendiculaire au plan de ce cercle.