II. Tout cercle de la sphère a deux pôles

III. Tous les cercles dont les plans sont parallèles ont les mêmes pôles.

PROPOSITION VU

THÉOEEME.

Tous les points de la circonférence FNG (tun cercle de la sphère sont également distants du pôle H de ce cercle.

fig. aao. En effet , si on mène du centre O de la circonférence FNG, les rayons OF, ON, OG, et qu'on tire les droites DF, DN, DG, les triangles rectangles DOF, DON, DOG.... seront égaux ; car ils ont le côté DO commun, et les lignes OF,ON,OG sont égales comme rayons d'un même cercle; donc on a DF=DN=DG. . . •

On voit aussi parla que les arcs de grands cercles FD, DN,DG, sont égaux comme sous-tendus par des cordes égales; et de plus les plans de ces grands cercles sont perpendiculaires sur le cercle FNG, car ils passent tous par la droite DO perpendiculaire au plan de ce cercle.

Tout ce qui vient d'être démontré s'applique évidemment au pôle d'un grand cercle AMB ; mais dans ce cas les angles droits DCA, DGM, DGB, étant au centre des grands cercles DA£, DME... ., les arcs DA, DM, DB, sont des quarts de circonférence ou des quadrants,

Scolie. Les propriétés des pôles permettent de tracer sur la surface de la sphère des arcs de cercle avec la même fa* cilité que sur une surface plane.

On emploie à cet effet un compas appelé compas^spliérique, dans lequel on donne aux deux branches une dis-

LIVBE VII.

position qui permette d'incliner les pointes Tune sur lautre sous un angle quelconque.

11 est évident que si on place une des pointes de ce com- iîg- aao. pas en D, et l'autre en F, et que Ton fasse tourner ce compas autour du point D, rextrémité F décrira le cercle FNG.

Si Ton voulait du point D, comme pôle, décrire un grand cercle AMB,il faudrait que la distance des deux pointes du compas fi^t égale à la corde d'un quadrant; et pour avoir cette distance, il faudrait connaître le rayon de la sphère.

PROPOSITION VIII

PROBLÈME

Étant donnée une sphère^ trouver son rayon. A S

Avec une ouverture de compas arbitraire AG, décrivons sur la sphère un cercle CDE; marquons trois points C, D, E sur ce cercle, et mesurons avec im compas les distances rectilignes CD, DE, CE; enfin construisons sur un plan un triangle avec ces trois côtés ; le rayon du cercle circonscrit à ce triangle sera le rayon du cercle GDE.

Cela posé, concevons par le diamètre AB de la sphère un grand cercle ACBE; concevons aussi qu'on tire les droites GA, CB et CO. Dans le triangle rectangle CAO, on connaît l'hypoténuse AG et le côté CO; on pourra donc construire sur un plan un triangle G'A'O' égal à CAO; de plus, la droite GB étant perpendiculaire sur G A, si l'on mène

220 GÉOMÉTAIE.

CB' perpendiculaire sur A.^C', la droite A'B', égale à AB, sera le diamètre de la sphère.

PROPOSITION IX

PROBLÈME

Tracer sur une sphère un grand cercle passant par deux points A et B.

Des points A et B comme pôles, avec un intervalle égal \\ la corde du quadrant , décrivons deux grands cercles qui se coupent en P; le point P sera le pôle de l'arc de grand cercle AB, et servira à décrire cet arc.

PROPOSITION X

PROBLÈME

Abaisser (Ton point k de la surface de la sphère ^ un grand cercle perpendiculaire sur un grand cercle

UYM nu

2ia.7

' Du point A comme pôle^ «wc un intervalle «ig^l à un quadrant , décrivez un grand cercle qui Cùu^ e« S U o^^cle CMD. Puis du point Scoinme pôle, avec lj*tei^aU«,^A, décrivez le grand cercle AM, qui sera perpe^dviuiaire sur GMD*.

PROPOSITION XI

PROBLÈME

Tracer sur une sphère un petit cercle passant par ttvis points A, B, C.

Mesure2 avec un compas sphérique fe^ distances reclilignes AB, BC, ACj construisez un triangle ave<5 ces trois cotés , et circonscrivez à ce triangle une circonférence dont le rayon sera celui de la circonférence qu'il s'agit de tracer sur la sphère.

Maintenant, si l'on conçoit le diamètre PP' perpendiculaire sur le plan du cercle ABC, et qui rencontre le plan de ce cercle en son centre I ; si l'on mène en outre les droites AP, AI, AP', on voit que le triangle PAP' est rectangle en A; etronconnait ^arns ce triangle l'hypoténuse PP' et la hauteur Al.

Pour consunire oe triangle, décrivez un cercle dont le diamètre pp 9oil ég»! à celui de la sphère ; menez au point p une tengtonte égcile au rayon du cercle Afi€ ; puis conduisez une ligne ela parallèle à pp jusqu a sa rencontre a

2^8 G£OM£TRIl£.

avec la circonférence ; enfin joignez ap^ apt-^ app sera le triangle demandé , et le côté ap sera égal à AP.

Pour déterminer le pôle P du cercle ABC , il suffira, des points AyB,C comme pôles, avec un intervalle égal ^ap^ de décrire des cercles qui se couperont au point cherché. Connaissant le pôle, la construction s achèvera sans difficulté.

PROPOSITION XIL

THiORBME.

Le plus court chemin du point A au point B sur la surface de la sphère^ est Varc de grand cerclcy nvoindre quune demi - circonférence, qui joint ces deux points.

Nous fonderons ]a] démonstration de ce théorème sur les deux lemmes suivants.

Lemme I. Le plus court chemin du pôle P d^un cercle à tous les points de sa cU^onférence ABD est le même pour tous ces points.

Cela résulte évidemment de 1 égalité des arcs de grands cercles PA, PB,.... et de la symétrie par&ite de la sphère autour du point P.

Lemme IL Soient AB, AC deux arcs de grands cercles moindres qu^une demi-<irconférenceyet soit AC < AB, Je dis que le plus court chemin de A en C est moindre que celui de A en ^.