LIVRE VII, aa

En effet, décrivons du point A comme pôle, et avec rintervalle AC, un cercle qui coupera nécessairement Tare AB entre A et B, et soit AMB la ligne la plus courte entre A et B; cette ligne rencontrera le cercle CI en un point <M, et la ligne AM sera le plus court chemin de A en M;* 'Oac s*il existait une ligne plus courte entre ces deux points , AMB ne serait pas le plus court chemin de A en B , ce qui est contre Thypothèse. D ailleurs , d'après le lemme précédent, le plus court chemin de A en M est le même que de A en C ; donc le plus court chemin de A en C est moindre que de A en B.

Cela posé , soit AB Tare de grand cercle moindre qu une demi-circonférence qui joint les points A et B; et supposons qu'il existe hors de cet arc un point C de )a ligne la pliis courte entre A et B. Menons les arcs de grands cercles AC, BC, et prenons AD=AC,

' On a* AB<AC+CB; retranchant de part et d autre AD=-AC, il reste DB<BC. Or, en vertu du l^ipme I, le *P*^-^« plus court chemin de A en U est le même que de A en C;

23o GKOMETRIK.

donc puisque ie point C appartient à la ligne la plus courte de  en B, il faudrait que la distance de C en B fût moindre que de D en B, conséquence absurde, d*après le lemme II, puisque lare BG est plus grand que BD. Donc aucun point de la plus courte distance entre A et B ne peut être hors de l'arc AB, donc Tare AB est lui-même la ligne la plus courte qui a les mêmes extrémités.

Remarque, Dans la démonstration précédente , on suppose chacun 4ie«.dm4X aces AC* BQ^ ipjçjji^^r^ que AB ; et il est éTÎdeni quonne fp^t faire une autre bypvqfthdie^ car $i . on aFait AG >,A3, )a.%^.l& plu# oQmr^ c^f A ^n B s^i^it XjÊbmdn que4e A em C; le poj^^t G i^e ppunr^i^ donc p^ appartenir k la.pr^mière ligue* . . t.

PROPOSITION xm. :.

, THEOREME.

fig. aaC. L'angle BAC que font entre eux deux arcs de grancls cercles AB, AC, a pour mesure t angle FAG, formé par les tangentes de ces arcs au point \: il a aussi pour mesure rare DE, décrit du point A comme pôle entre les côtés AB, AC, prolongés s il est nécessaire.

Car la tangente AF, menée dans le plan de Tare AB, est perpendiculaire au rayon AO; la tangente AG, menée dans le plan de Tare AG, est perpendiculaire au même rayon AO. Donc langle FAG est égal à l'angle des plans OAB, pAG, qui est celui des arcs AB, AG, et qui se désigne par