BAC

Pareillement, si Tare AD est ég^l a un quadrant, ainsi

que AE, les lignes OD,. 0£, seront perpendiculaires à AO,

et langle DOE^sera encpre égal à l'angle des^plans, AOD,

AOE; donc lare DE est la mesure d^^l'augle de cas plans,

, . ou la mesure de ('angle GAB, .

Coro//fl;re. Les angles des triangles, sphériques peuvent

LIVRK VII.

se comparer entre eux par les arcs de grands cercles décrits de leurs sommets comme pâles et compris entre leurs cotés : ainsi il est facile de faire un angle égal 21 un angle donné.

Scolie, Les angles opposés au sommet , tels que AGO et f^ ^3^ BCN, sont égaux ; car l'un ou l'autre est toujours l'angle formé par les deux plans ABC, OCN.

On voit aussi que d^ns la rencontre de deux arcs ACB, OCN, les deux angles adjacents ACO, OCB, pris enseiqble, valent toujours deux angles droits.

oAmimoifs •

Un triangle sphériqtie ABC étant donné, si des points fig. 217. A, B, C comme pôles, on décrit Jes arcs de grands cercles EF, FD, DE, ces arcs forment un triangle DEF, qui est appelé le triaxigle polaire de ABC.

Le sommet homologue du point A est déterminé par la rencontre des arcs décrits des points B et C comme pôles : ces arcs, il est vrai, se coupent en deux points; mais il ne faut prendre que celui qui est du même côté que le point A par rapport à BG, et ainsi pour les autres sommets.

PROPOSITION XIV

Si le triangle ABC a pour triangle polaire DEF , ^ rMproquement ABC sera le triangle polaire de DEF.

Car le point A étant le pôle de Tare EF, la distance AE est un quadrant ; le point C étant le pôle de l'arc D£, la distance CE est pareillemep^ un quadrant ; donc le poipt £ est éloigné d'un quadrant de chacun des points A et C; donc il est le pôle de l'arc AC, et de plus il est du même coté que B par rapport à AC ; on démontrerait de même

232 G£OMÉT4lIJ2.

que D est le pôle de i are BC, et F celui de Tare AB; doue ABC est le triangle polaire de DEF.

PROPOSITION XV

THBOHBMB.

M?. Étant donnés deux triangles polaires ABC, DEF^ chaque angle de tun de ces triangles aara. pour me* sure une demi-circonférence , moins le aité opposé dans Vautre triangle.

Soient prolongés , s*il est nécessaire , les côtés AB, AG, jusqu'à la rencontre de EF en G et H; puisque le point A est le pôle de lare GH ^ langle A aura pour mesure lare GH. Mais lare EH est un quadrant ainsi que GF, puisque E est le pôle de AH, et F le pôle de AG; donc EH+GF vaut une demi-circonférence. Or EH + GF esX la même chose que EF-hGH ; donc l'arc GH qui mesure l'angle A est égal à une demi-circonférence moins le côté EF; de même l'angle B aura pour mesure \ cire, — DF, et l'angle G, \circ. — DE. . .^

Getre propriété doit être réciproque çntre les deux triangles, puisqu'ils se décrivent de la même manière l'un par le moyen de l'autre. Ainsi on trouvera que les angles D, E, F, du triangle DEF, ont pour mesures respectivement : 5 cire. — BC, | cire. — AC, \ cire. — AB. En effet l'angle D, par exemple, a pour mesure l'arc MI; or MI + BG=MC -h BI=^ C//-C. : donc l'arc MI , mesure de Fangle D, = ^cirt?. — BC; et ainsi des autres.

Scolie. Si du centre de la sphère on mène des rayons aux sommets des triangles ABC, DEF, on forme deux angles trièdres dont les angles plans ont pour mesures les côtés des triangles sphériques , et dont les angles dièdres ne sont autres que les angles des mêmes triangles.

Or, il résulte du théorème qui vient d'être démontré