LIVRE VII. • ft

des sphères égales, sont cquilateraux entre eux, ils seront aussi équiafigles^ et les angles égaux seront, opposés aux côtés égauso.

Joignons le centre de la sphère aux sommets des deux triangles; tious formerons ainsi deux angles trlèdi*es dont les angles plans ayant pour mesures les cAtés des triangles s^hériques, sont respectivement égaux; mais on ^ démontré que dans ce cas les angles dièdre^ opposés aux faces égalés sont égaux : donc dans les deux triangles s'phé* rifjues lea angles opposés aux côtés égaux sont ég<iux.

PROPOSITION XIX

THitoaiiiB. '

Dans tout triangle sphérique isocèle les angles oihposés aux côtés éga^u: sont égaux.

Soit le côté AB=^ AC ; je dis qu'on aura l'angle C=B • fig..a3r. car sî du sommet A au point D, milieu de la base^ on mène lare Al), les deux triangles ABD, ADC , auront les trois côtés égaux chacun à chacun; savoir, AD commun? BD=DC, et AB=AC : donc, par le théorème précédent, ces triangles auront les angles égaux, et on aura B==:C.

La même démonsti-atioiï prouve que l'angle BADrrrDAO, et que l'angle BDA±=ADC. Donc ces deux: derniers sont droits ; donc Varc mené du sommet d*un triangle éphérique iêocele au milieu de sa hase est perpendiculaire à cette base y et disnse V angle du sommet en deux parties égales.

Scalie. ïl résulte encore de ce théorème, que le symétrique d'ii:n triangle sphérique isocèle lîii est égal par superposition.

PROPOSITION XX

THBORBME.

Si deux angles dun ttiangle sphérique sont égeuiXj gg ^j,^ les côtés opposés sont égofix.

236 GKOMETRfE.

Soit langle 6 = G; je dis qu'on aura AG=AB : car si le côté AB n'est pas égal à AC, soit AB le plus grand des deux, prenez BO=AC, et joignez OC. Les deux côtés BO , BC , sont égaux aux deux AC, BC; Tangle compris par les premiers, OBC, est égal à Tangle compris par les seconds, ACB. Donc les deux triangles BOC, ACB, ont les autres *ia. parties égales*, et on a l'angle 0GB = ABC : mais l'angle ABC, par hypothèse, =:ACB; donc on aurait OCB=: ACB, ce qui est impossible ; donc on ne peut supposer AB différent de AC ; donc les côtés AB, AG , opposés aux angles égaux B et G, sont égaux.

PROPOSITION XXI

THÉORÈME

fig. 232. Dans un triangle sphérique ABC, si raille A esl plus grand que V angle B, le côté BC opposé à F angle k sera plus grand que le côté AC opposé à V angle B ; réciproquement^ si le côté BC est plus grand que CA, l'angle A sera plus grand que F angle B.

i"* Soit Tangle A > B, faites l'angle BAD=B, vous aurez

*aO' AD:=DB* : mais AD+DG est plus grand que AC; à la

place de AD metUnt DB, on aura DB+Ii>C ou BC> AC.

a"" Si on suppose BC > AC, je dis que langle BAC sera plus grand que ABC : car, si BAC était égal à ABC, on au* rait BC=;=AC; e^t, .si on avait BAC < ABC, il s^ensuivrait, par ce qui vient d'être démontré , qu'on a BC < AC ; ce qui est contre la supposition. Donc l'angle BAC est plus grand que ABC.

PROPOSITION XXII

TBBORBNE.

fig. 933. Si les deux côtés AB, AC, du triangle spliérique ABC

juv/iE VU. a37

sont égaux aux deux côtés DE^ DF, du triangle DEF tracé sur une sphère égale , si en même temps Fan^ gle A est plus gra^d que F angle D , je dis que le twisième côté hC du premier triangle sera plus grand que le troisième EF du second.

La démonstration est absolument semblable à celle de la prop. xiy liv. i.

PROPOSITION XXIIL

«il deux tiiangles tracés sur la même sphère ou sur des sphères égaies sont éqaiangtes entre eux , ib serœit aussi équilatéraux.

Soient A et B les deux triangles donnés , P et Q leurs triangles polaires. Puisque les angles sont égaux dans les triangles A et B, les côtés seront égaux dans les polaires P et Q* : mais de ce que les triangles P et Q sont équilaté- *i:,, rattx entre eux, il s'ensuit quils sont aussi équiangles "^9 *i8. enfin, de ce que les angles sont égaux dans les triangles P et Q 9 il s*ensuit* que les cotés sont égaux dans leurs po- *i5, laires A et B. Donc les triangles équiangles A et B sont en même temps équilatéraux entre eux,

Scolie. Cette proposition n'a pas lieu dans les triangles rectilignes, où de légalité des angles on ne peut conclure que la proportionnalité des cotés. Mais il est aisé de rendre compte de la difFérence qui se trouve à cet égard entre les triangles rectilignes et les triangles sphériques. Dans lu proposition présente, ainsi que dans les prop. 16, 17, 18, aa, où il s'agit de la comparaison des triangles ^ il est dit expressément que ces triangles sont tracés sur la même sphère ou sur des sphères égales. Or les arcs semblables sont pix>porlionnels aux rayons; donc, sur des sphères égales, deux triangles ne peuvent être semblables sans