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dans la surface de la sphère; c'est ce que Ton voit par la fig. 236, en supposant lare MN égal à un quadraut,
a** Soient A, B, G les angles du triangle, et A le plus petit; i8o** — A, i8o® — B, iSo** — G seront les côtés du triangle polaire; or on a
i8o — A<i8o — B+ iSo — C,
d'où ajoutant de part et d'autre A + B + G , et retranchant t8o, on déduit
B-hC<i8o« + A,
Avec trois aviglès. A, B, G qui satisfont aut conditions énoncées dans ce théorème^ on peut former un triangle ^hérique , car ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'on puisse construii^ un angle trièdre avec les trois angles dièdres A, B, G.
Scotte. Nous arons supposé dans tout ce qni précède , que les triangles sphériques ont leurs côtés toujours plus petits que la dèmi-circoiiférence; nous observerons cependant qu'il existe des triangles sphériques dont certains côtés sont plus grands t^ineia demi-circonférence, et certains angles plus grands que deux angles droits. Gar, si on prolonge le côté AG en une circonférence entière AGE, ce qui reste, en retranchant de la demi-sphère lé triangle ABG, est un nouveau triangle, qu'on peut désigner aussi par ABG, et dont les côtés sont AB, BG, AEDG, On voit donc que le côté AEDG est plus grand que la demi-circonférence AED; mais en même temps l'angle opposé en B surpasse deux angles droits de la quantité GBD.
Au reste, si on a exclu de la définition les triangles dont les côtés et les angles sont si grands, c'est que leur résolution ou la détermination de leurs parties se réduit toujours à celle des triangles renfermés dans la définition. En effet, on voit aisément que si on connaît les angles et les côtés du triangle ABG, on connaîtra immédiatement les angles
a4o GBOHÉTRIE.
et les cotés du triangle de même nom qui est le reste de la demi-spbère.
DÉFINITIONS
I. On appelle fuseau , la portion de la surface de la sphère comprise entre deux demi-grands cercles qui se terminent à un diamètre commun.
IL L'onglet sphërique est la partie du volume de la sphère comprise entre les mêmes demi-grands cercles , et à laquelle le fuseau sert de base.
lU. La pyramide 5|>bérique est k partie du solide de la sphère comprime entre les pians d'un angle solide, dont le sommet est au centre; la base de la pyramide est le polygone sphérique intercepté par les mêmes plans.
Lorsque deux polygones sphériques coïncident, les pyramides dont ils sont les bases coïncident également.
IV. Nous appellerons pyramides sphériques symétriques celles qui ont pour bases des polygones symétriques.
PROPOSITION XXV
THBORBME.
ii«.2irt. Le fuseau \MBNA. est a la surface de la sphère COI f une Coiigle MA.N de ce fuseau esta quatre angles droits y ou comme tare MIN qui mesure cet angle est h la circonférence.
Supposons d abord que lare MN soit commensurabte avec la circonférence MNPQ, et qu'en divisant celle-ci en 48 parties égales , Tare MN contienne 5 de ces parties ; le rapport de lare MN à la circonférence est ^.
Faisons ensuite passer des plans par le diamètre AB et les points de division , nous formerons sur la sphère 4^ fuseaux tous égaux entre eux comme ayant même angle ^ et Ton voit que 5 de ces fuseaux seront contenus dans
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AMBN ; le rapport de ce fuseau à la surface de la sphère sera donc aussi ^; il sera donc le même que celui de Tare MN à la circonférence MNPQ.
Si l'arc MN n'est pas commensurable avec la circonférence, on prouverî^, par le raisonnement connu , que le fuseau est toi^jours à la sphère comme Tare MN est à la circonférence.
Mesure dujuseau. Soient F, F' deux fuseaux dont les angles sont A et A', on a, d*après le théorème ci-dessus
F : sph. :: A : 4*,
et
F : sph. :: A' : 4*-;
d'où
Si donc on veut mesurer un fuseau en le comparant à un autre fuseau pris pour unité, on voit, par la proportion ci-dessus, qu'il suffit de chercher le rapport des angles de ces fuseaux.
Supposons qu on prenne pour unité de fuseau F, celui dont l'angle est droit, la proportion (i) devient
