FA

Ainsi, le rapport d'un fuseau au fuseau droit est égal au rapport de son angle à un angle droit ; ce qu'on exprime d'dffe manière abrégée en disant que le fuseau a pour mesure son angle.

Si l'on prenait pour unité de surface le triangle trirectangle T qui est la moitié du fuseau droit, on aurait, en remplaçant F' par nT dans l'égalité (2)

d*oii,efn multipliant de part et d'autre par a, on conclut F 2A

T~idr.'

34^ GÉOMÉTRIK.

Donc, le rapport d un fuseau au triangle trirectangle est égal au rapport du double de son angle à un droit ; ou bien, en d'autres termes, un fuseau a pour mesure le double de son angle.

Scolie. On verrait aussi qu'un onglet est au volume de la sphère comme son angle esta 4 droits; et qu'un onglet a pour mesure son angle, en prenant pour unité de volume Tonglet droit, et pour unité d angle, Tangle droit; ou bien le double de son angle, en prenant pour unité de volume la pyramide trirectangle, qui est la moitié de longlet droit, et pour unité d angle, l'angle droit,

PROPOSITION XXVI

THSORBMB.

Deux triangles sphériques symétriques sont égaux

en surface.

fig. a«7- Soient ABC, DEF deux triangles symétriques, c'est^-à-dire

deux triangles qui ont les côtés égaux, ÂBizzDE, AC=:DF,

CB=EF, et qui cependant ne pourraient être superposés ;

. je dis que la surface ABC est égale à la surface DEF.

Soit P le pôle du petit cercle qui passerait par les trois points A, B, C (^); de ce point soient menés les ^rcs égajux PA, PB, PC ; au point F faites l'angle DFQ=ACP, Jt'îvc FQ=CP , et joignez DQ, EQ.

Les côtés DF, FQ, §ont égaux aux côtés AC, CP, langle DFQ==ACP; donc les deux triangles DFQ, AGP, sont * <6* égaux dans toutes leurs parties ^; donc le côté DQ:;=;AP 9 et l'angle DQF=APG.

Dans les triangles proposés DFE, ABC, les angles DFE ,

(*) Le cercle qui passe par les trois points A, B, C, 011 qui «st civcouscrit au triangle ABC, ne peut être qu^an petit cercle de la sphère; car, si c'éuit nn grand cercle, les trois côtés A.B, BC* AC, seraient situés dans an même plan, ai la triangle ABC s« réduirait à on d« ses cdtét.

uvRjç VU. a43

ACB, ppppsés aux cotés égaux D£, AB , étant égaux^ si on en retranche, les angles DFQ, ACP, égaux par copstruction, il restera Vangle QFE égal à PCB- D'ailleurs les cpté/s QF, F£, sont égaux aux côtés PC, CB ; donc les dçux triangles .FQ£, ÇPB, sont égaux dans toutes leurs parties ; donc le côté QE=PB, el l'angle FQE=CPB. .

Si on observe maintenant que les triangles DFQ, ACP, qui ont les côtés égaux chacun à chacun , sont en même tcusips isocèles, qb verra cju ils peuvent s'appliquer Tun sur l'autre ; donc ils sont égaux , donc la surface DQF=APG. Par une raison semblable , la surface FQE=CPB , et la surface DQE=APB ; donc on a DQF+FQE-DQE= APC+CPB APB, ou DFE==ABC; donc les deux triangles symétriques ABC, DEF, sont égaux en surface.

Scolie I. Les pôles P et Q pourraient être situés au dedans des txiangles ABC , DEF ; alors il faudrait ajouter les trois triangles DQF, FQE, DQE , pour en composer le triangle DEF , et pareillement il faudrait ajouter les trois triangles APC, CPB, APB, pour en composer le triangle ABC ; d'ailleurs la démonstration et la Conclusion seraient toujours les mêmes.

Scolie II. On verrait dé la même manière que deux pyramides sphériques symétriques sont équivalentes.

PROPOSITION XXVII

THBOHilfS.

Si deux grands cercles AOB , COI), se coi^iwHi ^.^^. comme on voudra dans l*/ié/nis/j/iètei AQCBH y la somme //es trkingles opposés AOC, BOD , sera égale au fuseau dont C angle est BOD.

Car, e« prolongeant les arcs OB, OD, dans l'autre hémisphère jusqu'à leur rencontre en N, OBN sera une demicirconférence, ainsi que AOB; retranchant de part et

1^44 GÉOMI^TRIE.

d autre OB, on aura BN=AO. Par une raison semblable, on a DN=CO , et BD=AC; donc les detix triangles AOC, BDN, ont les trois côtés égaux; d'aîlleuris leur position est telle qu'ils sont symétriques l'un de l'autre ; donc *a6. ils sont égaux en surface*, etia somme des triangles AOC, BOD, est équivalente au iîiseau OBNDO dont langle est BOD.

ScoUe. Il est clair aussi que les deux pyramides sphé» riques qui ont pour bases les triangles AOC, BOD, prises ensemble, équivalent à longlet sphérique dont langle est BOD.

PROPOSITION xxvm.

THBORKME.

Im sw]face (Puri triangle sphérique quelconque a pour mesure Vexcès de la somme de ses trois cuigles sur deux angles droits.

H- «39. Soit ABC le triangle proposé ; prolongez ses côtés jusqu'à ce qu'ils rencontrent le grand cercle DEFG , mené comme on voudra hors du triangle. En vertu du théorème précédent, on aura

ADE + AGH = fuseau A BGF + BID = fuseau B cm + CFE = fuseau C. -

Ajoutant, et observant que la somme de ces six triangles excède la demi-sphère de deux fois le triangle ABC, il Vient 2 .ABC + \ sphère =3 fuseau A + fuseau B + fuseau C; Donc, en retrancliant de part et d'autre la deUii-<pbère, et divisant par a, on a

. ^ fuseau A + fuseau B + fuseau C -*- ^ ^hère

AdLi :^ *— * •

Or, on sait qu'en prenant le triangle trireclangle pour

HVHE ViK a^5

unité de surfiEice , et 1 ang)e droit pour upité d*angle , le fuseau a pour mesure le double de son angle , et que la demi-sphère, qui peut être considérée comme un fuseau dont Tangle est a droits , a pour mesure 4 droits ^ donc on a

mesure de ABC =^^^^^"^^^~'^'^' = A+B+C^ 2^r. .

Scolie I. Si les angles du triangle sont donnés par les nombres de degrés des arcs qui leur servent de mesures , on retrancbera i8o^ de leur somme, et on cherchera le rapport de la différence à 90^.

Application. Soient A= 70" 10', B = 60** ao', C=8o**; en retranchant 180^ de la somme de ces arcs, on trouve pour différence 3o^ 3f>^; et pour obtenir le rapport de 3o^ 3o' à 90% il faut réduire ces deux nombres de degrés en minutes, et diviser le premier nombre par le second ; on trouve ainsi q^e le triangle proposé est les ||§§ ou le \ du triangle triredangle*

Scolie n. On démontrerait semblablement qu'une pyra- . mide sphérique triangulaire a pour mesure Texcès de la somme des angles de sa base sur deux droits ( en prenant pour unité de volume la pyramide trirectaingle, et pour unité d*angle l'angle droit ).

PROPOSITION XXIX

, . TlfBORSMB.

La surface dun polygone sphérique a pour mesure la somme de ses angles , moins le produit de deu.r angles droits par le nombre des côtés du polygone moins deux.

D*un même sommet A soient menées à tous tes autres f^^^ 3^^. sommets. les diagonales AC, AD ; le polygone ABCDE sera

^46 GÉOMIÉTRIE.

partagé en autant dé triangif s moins deux qu'il a d« côtés, Mais la surface de chaque triangle u pour mesure U somme de ses angles moins deux angles droits, et il est clair que la somme de tous les angles des triangles est égale à la somme des angles du polygone : donc la surface du polygone a pour nfiçsure la somme de ses angles diminuée d autant de fois deux angles droits qu'il a de côtés moins deux.

Scolie, Soit s la somme des angles d'un polygone sphérique, n le nombre de ses côtés 4 langle droit étant supposé l'unité, la surface du. polygone aura pour mesure s — a (n — 2]) ou s — a/i-H4' , . . , •

PROPOSITION X3;X

• TH^OaiMB.

Soit S le nombre des angles solides d*un polyèdre^ H le nombre de ses faces , A le nombre de ses arêtes; Je dis tfu^on ëkm ioêtyonr-r S -4* H = A •+. a.

Prenez au dedans dn polyèdre un point é*oh vous mènerez des lignes droites aux sommets de tous ses angles $ ia)a|;ineK ensiûte qu« ,j du même point comme centre , on décrive* une surface sphérîque qui soit rencontrée par toute» ces li^es en autant de points ; joignez ces points par des ar(.*s de grands cercles, de manière à former sur la surface de la sphère des polygones correspondants et en même h6mhrt àvkc les faces da polyèdre. Soit . 340. ABCDE un de ces polygones, et soit n le nombre de ses cdt«''S ; sa surface sera ^—2/1+4, s étant la somme des angles A,B^ C,D,£. Si on évalue semblablement la surface de chacun des autres polygones sphériques, et qu'on les ajoute toutes ensemble, on en conclura que leur somme, ou la surface de la sphère représentée par 8, est égale à la somme de tous les angles des polygones, moins deux fois le nombre de leurs côtés, plus 4 pris autant de fois qu'il y a de faces. Or, comme tous les angles qui s'iywstent autour du mène point A valent qvatre angles dcoits, la somme de tous les angles des polygones est égale à 4 pris an*