LIVRE VII
tant de fois qu'il y a d*aDgles solides; elle est donc égale à /|S. Ensuite le double du nombre des côtés AB, BC, CD, etc., est égal au quadruple du nombre des arêtes ou = 4^« puisque la même . arête sert de côté à deux faces : donc on aura 8 =:4S — 4A-h4H ; ou , en prenant le quart de chaque membre , a = S — A4-H ; donc S-f-H=A4-a.
Corollaire, Il suit de là que la somme des angles plans qui /arment leé an^es solides dan polyèdre est égale à autant de /ois quatre anglee droits qu'il f a d'unités dans S ^^ «^ S étant, le nom" bre dêê angks solides da polyèdre.
Cftr, si on oonsidète iiim> faoedoDt Jenonibre de côtés est n.^ la somme 4es angles de oetie fiice sera ajt -^ 4 angles droits. Mais la somme de tous les aii , ou le double du nombre des côtés de toutes les faces , s=3 4A^ et 4 pris autant deiois.qu'ii y a de faces 7= 4H; donc la somme des angles de tontes les faces = 4A— 4H. Or, par le théorème qu'on vient de démontrer, on a A— H=S — 2, et par conséquent 4A — 4H = 4 (S — a). Donc la somme des angles plans p etc.
Ce théorème, qu'Euler a démontré le premier dans fes Mémoires de Pétersbourg, année 1768, offre plusieurs conséquences qui méritent d'être développées.
i^ Soit a le nombre des triangles, b le nombre des quadrilatères, c le nombre des pentagones, etc., qui composent la surface d'un polyèdre; le nombre lotal des faces sera û+^+c+rf-J-etc.,, et le nombre total de leurs côtés sera 3a-|-464-5o-f-à<]^- etc. Ce dernier nombre est double de celui des arêtes, puisque la même arête appartient à deux faces ; ainsi on aura
H==s€i-h*4- c+£f +etc.
oAa 3a4*4&-Hâ«-4<6^+etc.
et puisque, suivant le théorème dont il s'agit, S -^ H = A + a, on en tire
<iS=4+A-t-a^+3cH-4^+etc.
Une première remarque que fournissent ces valeurs, c'est que le nbmbf-e des faces impaires «+^4-^+ etc. est toujours pair.
On peut faire pour abréger (t>=s b+^c»^ B/Z-t- etc., et alors on
aura
Ainsi clans tout polyèdre on a toujours A>|H,etS>a+^H, où il faut observer que le signe > n'exclut pas l'égal ité, attendu qu'on pourrait avoir o)=o.
Le nombre de tous les angles plans du polyèdre est a A, celui des angles solides est S , de sorte que le nombre moyen des an-
gles plans qui forment chaque angle solide est — — - •
Ce nombre ne peut être moindre que 3, puisqu'il faut au moins trois angles plans pour former un angle solide; ainsi on doit avoir a A >* 3Sy le signe >» n'exduantpasrifgalité. Si on met «a lieu de A et «S leurs valeurs en Hat w, on aura 3HfihM>»^+ f H4^f os ou 3H>' la+on Remettant les valeurs de H el u.en £r, b, c, etc., il en résultera i
Bo-f. a6 +<:> la -t-tf4-a/4- 3^H- etc.
d'où l'on voit que «, 6, c, ne peuvent pas être iéro h la fois, et qu'ainsi il n'existe aucun polyèdre dont toutes les faces aient plus de cinq côtés.
Puisqu'on a H>>4+i <*>> ^^ substitution dans les valeurs de S et de A donnera S]> 4 + } 09 et A >> 6 + o). Mais en même temps onaû><3H — la; etdc là il résulteS<aH— 4, etA<3H— 6, où Ton se souviendra que les signes >> et <^ n'excluent pas Tégalité. Ces limites ont lieu généralement dans tous les polyèdres.
a^ Supposons a A>> 4 S , ce qui convient à tme infinité de polyèdres, et nommément à ceux dont tous les angles solides sont formés de quatre plans ou plus, on aura dans ce casH^S+ooi' ouy en faisant la substitution,
a > 8 H- c-t- a^-f- 3^ + etc.
Donc il faut que le solide ait an moins huit £ac«8 triangulaires; la limite H >> S + a> donne S^S+ia^ et A >• a -)-< i a iii, .Mais on a en même temps a» <^ H ^ 8 ; et de là résulte S <^U -*» a ,.
A<aH — 4-
3^ Supposons a A>-5S, ce qui renferme entre autres polyèdres ceux dont tous les angles solides sont au moins quintuples, il en résultera H>ao+3u>, ou
fl> ao4-aé+ 5c 4-8£/+clc.
Et on aura en même temps S > i a -|- a o, et A > 3o + 5 w ; enfin
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. €Îe ce que oj <; ^ (H — ao), on tire les limites S <^ | (H — a), A <
Oq ne peut supposer a A =6 S; car on a en {général aA. +a (o -4-ia = 6S; donc il n'y a aucun polyèdre dont tous les angles solides soient formés de six angles plans ou plus; et en effet, la moindre valeur qu'aurait chaque angle plan, Tuii portant l'autre^ serait Tangle d'un triangle équilatéral , et six de ces angles feraient quatre angles droits, ce qui est trop grand pour un angle solide^
4® Conaidérons qh polyèdre doDt toutes les Sàces soient irinagulaires»onaarafi»c=so, ce qui donnera Ass^lH, et Ss9a+4^- Supposons eu outre que ions (es angles soliçles du polyèdn* soient en partie quintuples» en partie sextupies; soilp le nombre des angles solides quintuples, g- celui d#4 lex^iples, pu aura Ss=/?+^,. et %JL=Sp+6q, ce qui donne 6S — %X^=^p : mai^ on ad*ailleurs A=9|H,^t Se=si-{-|H9donc/>=:6S rr^A=:=ta. Donc ii un polyèdre a toutes ses faces triangulaireSf ff que ses un* glçs solides soient en^purtie quintuples %, ^n partie seanjuples ^Jes an* gles solides quintuples seront tau/ours au nombre de la* J^ejs ^fi;xtuples peuvent être en nombre quelconque : ainsi, en lassant q indéterminé, on iiura dans tous ces solides S ;n: la-f-g, IIs= ao -f-^4 Abs3o+39-
Pious ^rmi^erons 4)es applications par la recherche du nombre de con4itioQ<< ou données nécessaires pour déterminer un polyèdre^ question intéressante , et qu'il ne paraît pa| .qu'on ai,t eoi^re résolue^
- tSvpposoiis d'abord que le polyèdre soit d'une espèee détermin née, €'«stwi«dire> qu'on connaisse le nombre de ses faces, le nombre dé leurs côtés individuellement, et leurs dispositions le& unes à regard des antres. On connaît donc les nombres H, S, A, ainsi ^ue, a, b» C| </, etc. , il ne s'agit plus que d'avoir le nombre de données effectives, lignes ou angles, par le moyen desquelles le polyèdre peut être construit et déterminé.
Considérons une des faces du polyèdre que nous prendrons pour sa base. Soit n le nombre de ses côtés; il faudra ^n ~ 3 données pour déterminer cette base. Les angles solides hors de la base sont au nombre de S — n; le sommet de chaque angl(* exige trois données pour sa d/*tprminafion; ainsi In position di*
a5o GléOMÉTRlE.
S — n sommets exigerait 3$ — 3/2 données, auxquelles ajoutant les a/i — 3 de la base, on aurait en tout 3S — n -^^ 3. Mais ce nombre est en général trop grand, il doit être diminué du nombre de conditions nécessaires pour que les sommets qui répondent à une même face soient dans un même plan. Nous avons appelé n le nombre de côtés de la base, appelons de même /i',/i'', etc., les nombres de côtés des autres faces. Trois points déterminent un plan ; ainsi ce qui se trouvera de plus que 3 dans chacun des nombres /i', n"y etc., donnera autant de conditions pour que tes difAîfeuts sommets soient situés dans les "plani des Îàbt9 auxquelles ils appartiennent, et le ncknbre total de 6es coaditioiis sera égal à la somme (n^— 3)-f- («"— 3) -J- («"'— 3) + etc: Mais le nombre des termes dé cette suite est H ^i, et d^aiHeats n +«'-{•* n''4-etc; = iAt donc la somme de la suite sera iA.^/i — 3 (H — i). Retranchant cette somme de 3 S — n — ^ 8 , il restera 3S — 2A + 3H — 6, quantité qiii, à cause de S H-Hss A+a, se réduit à A. Donc le nombre de données néeeisaires pour déter^ Mnerunpolfèdte^ parmi touâ teuâtdé la même espèce, est égal au uôtnhre de ses arêtes.
Remarquez cependant que les données dont il s*agit ne doivent pas être prises au hasard- parmi les lignes et tes angles qui constituent les éléments du polyèdre; car, quoiqu'on e^ autant d'équations que' d'inconnues, il pourrait se faire que eertâines relations entrf les quantités connues rendissent le probtéoné indéter-' miné. Ainsi il semblerait, d'après le théorème qu'on vient de trouver, que la connaissance des arêtes seules suffit eo général pour déterminer un polyèdre; mab il y a des cas oà oette oonnaissande n'est pas sufiisante. Par exemple, étant doimé tin prisme no» triangulaire quelconque^ on pourra former mie iafinitéd'achtrès prismes qui auront des arAtes égales et placéea de la même manière. Gar^ dès que la base a plus de trois côtés, on peut, tm conservant les côtés, changer les angles, et donner ainsi k cette base une infinité de formes dîâerentes; on peut aussi changer la position de Taréte longitudinale du prisme par rapport au plan de la base; enfin on peut combiner ces deux changements Tua avec l'autre; et il en résultera toujours un prisme dont les arêtes ou côtés n'auront pas changé. D'où l'on voit que les arêtes seules ne suffisent pas dans ce cas pour déterminer le solide.
