LIVRE Vir. Îi5l

Les données qu'il convient de pVendré pour déterminer un solide sont celles qtii ne laissent aucune indéteimirtAtion et qui ne donucnt absolotoenf qu'une solution. Et d*àbo^d la base ABCDË %^8*sera déterminée entre autres manières^ si on connaît le côté AB, Avec les angles adjacents BAC, ABC, pour It ]>oint C; les angles BAX>, ABD, pour ie point B, et ainsi des autres. Soit ensuite M nn poiât dontll faut détertniner la position hors duplMn de la base; ce point sera déterminé, si, en imaginant la pyramide MABCj ou seulement le plan MAB, on connaît les angles MAB, ABM, et l'inclinaison du plan MAB sur la base ABC. Si on détermine, par le moyen de trois données pareilles, la position de chacun des sommets du polyèdre hors du plan de la base, il est clair que le polyèdre sera déterminé absolument et d'une manière unique, de sorte que deux polyèdres construits avec les mêmes données seront nécessairement égaux; ils seraient cependant symétriques l'un de l'autre, s'ils étaient construits de différents côtés du plan de la base.

Il n'est pas toujours nécessaire d'avoir trois données pour déterminer chaque sommet d'un polyèdre; car si le point M doit se trouver sur un plan déjà déterminé dont l'intersection avec la base soit FG, il sufliray après avoir pris FG à volonté, de connaître les angles MGF, MFG; ainsi il faudra une donnée de moins. Si le point M doit se trouver sur deux plans déjà déterminés, ou sur leur intersection commune MK qui rencontre te plan ABC en K, on connaîtra déjà le côté AK, l'angle AKM, et Tinclinaison du plan ARM sur la base; il suffira donc d'avoir pour nouvelle donnée l'angle MAK. C'est ainsi que le nombre de données nécessaires pour déferminer un polyèdre absolument et d'ime manière unique, se réduira toujours au nombre de ses arêtes A.

Le côté AB et un nombre A — i d'angles donnés déterminent un polyèdre ; un autre côté à volonté et les mêmes angles détermineront nn polyèdre semblable. D'où il suit que le nombre de conditions nécessaires pour rjue deux polyèdres de la même espèce soient semblables est égal au nombre des arêtes moins un,

La question qu'on vient de résoudre serait beaucoup plus simple si on ne connaissait pas l'espèce du polyèdre, mais seule» ment le nombre de ses angles solides S. Déterminez alors trois sommets à volonté par le moyen d'un triangle où il y aura trois

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données; ce triangle sera regardé comme la base du solide, en* siiitç les sommets hors de cette base seront au nombre de S— 3; et la détermination de chacun d'eux exigeant trois données, il est clair que le nombre total de données nécessaires pour déterminer le polyèdre sera 3 + 3 (S — 3), ou 3 S^— 6«

Il faudra donc 3 S — 7 conditions pour que d^ux polyèdres qui ont un égal nombre S d*angles solides soient semblables entre eux.

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