LES POLYÈDRES RÉGULIERS

PROPOSITION PREMIERE

THlEORÂMB.

// ne peuty aifoir que cinq polyèdres réguliers.

Car on a défini polyèdres réguliers ceux dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux, et dont tous les angles solides sont égaux entre eux. Ces conditions ne peuvent avoir lieu que dans un petit nombre de cas.

i^ Si les faces sont des triangles équilatéraux, on peut former chaque angle solide du polyèdre avec trois angles de ces triangles , ou avec quatre , ou avec cinq : de là naissent trois corps réguliers , qui sont le tétraèdre, Toctaèdrc, et Ticosaèdte. On n'en ^eut pas former un plus grand nombre avec des triangles équilatéraux , car six angles de ces triangles valent quatre angles droits, et ne peuvent form<^r, d'angle sp)ide ^. * 3 1^5.

'À? Si les faces sont des carrés, on peut assembler leurs angles trois à trois ; et de là résulté l'hexaèdre bu bube. • ' '

Quatre angles de carrés valent Quatre anglëë droits ^ et ne peuvent former d'angle solide.

y^ Enfin , si les faces sont des pentagones réguliers , on pourra encore assembler leurs «ingles trois à trois , et il en résultera le dodécaèdre régulier.

On ne peut aller plus loin ; car trois angles d'hexagones réguliers valent quatre angles droits, et trois d'heptagones encore plus.

Donc il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers^ trois formés avec des triangles équilatéraux, un avec des carrés, et un avec des pentagones.

Scolie. On va prouver, dans la proposition suivante, que ces

a54 GÉqMi^siE.

cinq polyèdres existent réellement, et qu'on peut en déterminer toutes les dimensions lorsqu'on connaît une de leurs faces.

PROPOSITION II

' • ' . PAOBlÈVE.

Étant donnée Vunc des faces d'un polyèdre régulier^ ou seulement son c6té^ construire le polyèdre.

Ce problème en présente cinq, qui vont être résolus successivement.

Construction du tétraèdre.

fig. 243. Soit ABC le triangle équilaléral qui doit être une des faces du tétraèdre; au point G, centre de ce triangle, élevez OS perpendiculaire au plan ABC ; terminez cette per|)endiculaire au point S^ de sorte fue AS=: AB; joignez SB, SC, et la pyramide SABC sera le tétraèdre ^requis. .

Car, à cause des distances égales OA, OB , OC , les obliqiies SA, SB, se 9 s'écartent également de la perpendiculaire SO et sopt égales. L'une d'elles SA=:AB ; donc les quatre faces de la pyj'aniide SABC sont des triangles égaux au triangle donné ABC. D'ailJl.eMrs les angles. solides, de cette pyramide sont égaux, eutic eux,, puisqu'ils sout formés chacun avec trois angles plans égaux ^ donc, cette pyramide est un tétraèdre régulier.

Construction dé Vhexaèàte,

fig. 244. Soit ABCD un carré doiiné : ^ur la ba;^e ABCD con^tiniisex un prisme droil dont Ig, hauteur A£ soit égale au côté AB. Il isst dair que les faces de ce prisme sont des carrés égaux., et que ses angles solides ^nt égjs^ux entre eux comme étant foripés chacun «vec trois angles ^r.oUs ^ donc ce prisme est un h^uièdre régulier ou cube.

Construction de V octaèdre •

fig.a45. ^^'^ AMB un triangle équilatcral donné : sur le côté AB décrivez le carré ABCD ; au point 0» centre de ce carré, élevez sur son plan la perpendiculaire TS, terminée de part et d'autre en T et S, de manière que OT= OS =5 AO ; joignez ensuite SA, SB,