LIVRE VII. a

TA., etc., vous aurez un soHde SABCDT, composé de deux pyramides quadran^ulaires SABCD, TABCD, adossées par leur base commune ABCD; ce solide sera Toctaèdre régulier demandé.

£n effet, le triangle AOS est rectangle en O, ainsi que le triangle AOD^ les côtés AO,OS,OD, sont égaux; donc ces triangles sont égaux, donc AS:= AD. On démontrera de même que tous les autres triangles rectangles AOT, BOS, COT, etc., sont égaux au triangle AOD ; donc tous les côtés AB, AS, AT, etc., sont égaux entre eux, et par conséquent le solide SABCDT est compris sous huit triangles égaux au triangle équilatéral donné ABM. Je dis de plus que les angles solides du polyèdre sont égaux entre eux : par exemple, Tangle S est égal à l'angle B.

Car il est visible que le triangle SAC est égal au triangle DAC, et qu'ainsi l'angle ASC est droit; donc la figure SATC est un carré égal au carré ABCD. Mais si on compare la pyramide BASCT à la pyramide S ABCD, la base ASCT de la première peut se placer sur la base ABCD de la seconde; alors le point O étant un centre commun, la hauteur OB de la première coïncidera avec la hauteur OS de la seconde , et les deux pyramides se confondront en une seule ; donc Tangle solide S est égal à l*angle solide B; donc le solide SABCDT est un octaèdre régulier.

Scolie. Si trois droites égales, AC, BD, ST, sont perpendiculaires entre elles et se coupent dans leur milieu, les extrémités de ces droites seront les sommets d'un octaèdre régulier.

Construction du dodécaèdre.

Soit ABCDE un pentagone régulier donné; soient ABP, CBP, fig,a4(J. deux angles plans égaux à l'angle ABC : avec ces angles plans formez l'angle solide B, et soitK l'inclinaison mutuelle de deux de ces plans. Formez semblablement aux points C,D,E,A, des angles solides égaux à TanglesolideB, et situés de la même manière : le plan CBP sera le même avec le plan BCG , puisqu'ils sont inclinés l'un et l'autre de la même quantité R sur le plan ABCD. On peut donc dans le plan PBCG décrire lé pentagone BCGFP égal au pentagone ABCDË. Si on fait de même dans chacun des autres plans CDI, DEL, etc., on aura une surface

•JtSB GÉOM£TRI£.

convexe PFGH, etc., composée de six pentagones réguliers, :^gaux et inclinés chacun sur son adjacent de la même quadtité K. Soit pf^h^ etc., une seconde surface égale à PFGH, etc., je dis <|ne ces deux surfaces peuvent ôlre réunies de manière à ne fornior cm'une seule surface convexe continue. En effet, l'angle opfy j)ar exemple, peut se joindre aux deux angles OPB, BPF, pour faire un angle solide P égal à l'angle Bj et dans cette jonction il ne sera rien change à l'inclinaison des plans BPF, BPO, puisque cette inclinaison est telle qu'il le faut pour la formation de l'angle solide. Mais en même temps que l'angle solide P se forme, le côté /?/ s'appliquera sur son égal PF, et au point F se trouveront réunis trois angles plans PFG, pfe^ efg^ qui formeront un angle solide égal à chacun des angles déjà formés; cette jonction se fera sans rien changer ni à Tétat de l'angle P, ni à celui de la surface efgh ^ etc.; car les plans PFG, efp^ déjà réunis en P, ont entre eux Tinclinaison convenable K , ainsi que les plans ejg, cfp. Continuant ainsi de proche en proche, on voit que les deux surfaces s'ajusteront mutuellement l'une avec l'autre, pour ne former qu'une seule surface continue et rentrante sur elle-même : cette surface sera celle d'un dodécaèdre régulier, piûsqu'elle est composée de douze pentagones réguliers égaux , et que tous ses angles solides sont égaux entre eux.

Constmctlon de Vkosaèdre.

iig. 247. Soit ABC une de ses faces; il faut d'abord former un angl* solide avec cinq plans égaux a^i plan ABC et également inclinés chacun sur son adjacent. Pour cela, sur le côté B'C, égal à BC, faites le pentagone régulier B'CHl'D'; au centre de ce pentagone élevez sur son plan une perpendiculaire, que vous terminerez en A' de manière que B<A'=B'C' ; joignez A'C, A'H', AT, aI)', et r<iogU solide A', formé par les cinq plans B'A^C', C'A'll'', etc., sera l'angle solide requis. Car les obliques A'B', A'C, etc., sont égales, et l'une d'elles A'B', est égale au côté B'C'; donc tous les triangles B'A'C, C'A'H', etc., sont égaux entre eux et au triangle donné ABC.

Il est visible d'ailleurs que les plans B'A'C, C'A'fl', etc., sont également inclinés chacun sur son adjacent; car les angles solides B', C, etc., sont égaux entre eux , puisqu'ils sont formés chacun