LIVRE VII. a

avec deux angles de triangles équîlatéraux et un de pentagone régulier. Appelons K l'inclinaison des deux plans où sont les angles égaux ; Tangle K sera en même temps rJnclinaison de chacun des plans qui composent Tangle solide A' sur son adjacent.

Cela poséysi on fait aux points A, B, C, des angles solides égaux chacun à l'angle A', on aura une surface convexe DEFG, etc., composée de dix triangles équîlatéraux > dont chacun sera incliné sur son adjacent de la quantité K; et les angles D, Ey F, etc., de son contour réuniront alternativement trois et deux angles de triangles équilatéraux. Imaginez une seconde surface égale à la surface DEFG , etc. ; ces deux surfaces pourront s'adapter mutuellement, en joignant chaque angle triple de l'une à un angle double de l'autre; et comme les plans de ces angles ont déjà entre eux l'inclinaison K nécessaire pour former un angle solide quintuple égal à l'angle A, il ne sera rien changé dans rette jonction à l'état de chaque surface en particulier, et les deux ensemble formeront une seule surface continue, composée de vingt triangles équilatéraux. Cette surface sera celle de l'icosaèdre régulier, puisque d'ailleurs tous les angles solides sont égaux entre eux.

PROPOSITION III

PaOBLiME.

Trouver' l'inclinaison de deux faces, adjacentes d'un polyèdre régulier.

Cette inclinaison se déduit immédiatement de la construction qui vient d'être donnée des cinq polyèdres réguliers ; à quoi il faut ajouter ce problème de géométrie descriptive dans lequel , étant donnés les trois angles plans qui forment un angle solide , on détermine Tangle que deux de ces plans font entre eux.

Dans le tétraèdre. Chaque angle solide est formé de trois angles fig. a43. de triangles équilatéraux : il faut donc chercher par le problème cité l'angle que deux de ces plans font entre eux ; cet angle sera l'inclinaison de deux faces adjacentes du tétraèdre*

a 58 GEOMETRIE.

fig.a44. Dans f hexaèdre. I/angle de deux faces adjacentes est un angle

droit.

fig. a45. Dans l'octaèdre. Formez un angle solide avec deux angles 'de

triangles éqiiilatcraux et ûh angle droit ; Tinclinaison des deux

plans où sont les angles des triangles sera celle de deux faces

adjacentes de l'octaèdre, fig. 246. Dans te dodécaèdre. Chaque angle solide est formé avec trois

angles de pentagones réguliers ; ainsi Piuclïijâîson des plans de

deux de ces angles sera celle de deux faces adjacentes du dodé-

caéci^-e.

fig. a47' Dans l*icosaèdre. Formez un angle solide avec deux angles de

triangles equîlatéraux et un angle de pentagone régulier, Tin-

clinaisdn clés deux plans où sont les angles des triangles sera

celle de deux faces adjacentes de l'icosaèdre.

PROPOSITION IV

PROBLEME

Étant donné le côté d'un polyèdre régulier, trouver le rayon de la sphère inscrite et celui de la sphère circonscrite au polyèdre, fig. 248. lï ^i*"' d'abord démontrer que tout polyèdre régulier peut être inscrit dans la sphèrt'» et qu'il 'peu tjlii être circonscrit.

Soit AB le côté commun à deux faces adjacentes; soient C et E les centres de ces deux faces, ^t, QD, £D, les perpendiculaires abaissées de ces centres sur le côté commun AB, lesquelles tomberont au point D, milieu de ce côté. Les deux perpendiculaires CÎD, DE, font enlre elles un angle connu , qui est égal à nhclinaison de deux faces adjacentes , déterminée par le problème précédent. Or si, dans le plan CD£, perpendiculaire à A'B, on mène sur CD et ED les perpendiculaires indéfinies (ÎO et ïiO, qui se rencontrent on O, je dis que le poitit O sera le cetitrdide la sphère inscrite et celin de la sphère circonscrite'; le ràtbil rfe la première étant ÔC , et celui de la seconde O'A;

En effet, puisque les apothèmes CD, DE*;*sohPégaux,'et

rhypotouuse DO commune , le trlhngle l^ctaWgle CDO est

19,1. égal au triangle rectangle ODE*, et Isi pérpeOdictJairè OC est

égale à la perpendiculaire 0£. Mais AB 'éhilit perpendiculaire

ad ^llm COE , le {Aati ABC est pvrpimdiciiUÂre k C£>Ë'^ , ou *28,5. €bE à 'A%; d*a4lletfrs CO, 4a ns le ip^ân CD£^ est iperpco* dicntaire à 01> , iiTte¥se<?tiafi commune des plans <bt>£i» iAC^ ^htic CC^ est |)erpend<ion)»Tre au plan ABC. f*ar }« inéEiie ^29,5. raison £0 ^t pert)eitdvetilciire au plana ACB4 donc 'les deux p(^rpendiciilaires CO, EO, menées aux plans de deux faces adjacëAtes'^lir les ceiatr«( de oes 'firees , se ncncontrent en na même point O et sont égales. Supposons maintenant que AilG -et All£ vé\^setïimt dcfox nulres fa<ïe^ adjacentes qndlecmqfiesv il'apothème CD 'nestera touJQtèrs'de la mèçie ^qndenr, >ainsi 4fue Huti^e CD0, moitié 'de Q[)E^; doncle tvisn^^le «reotifiçle CDO et son côté CO sfftiorni^ égaux potfrrtoutes'lesifaces du polyèdre; â<m^y m du point 'G cdtnoie centre et du tti]NMi*OC on décrit une sphère, *deue tspltère touobera toutes 'les faces ^npbj^èidUre liiinB'leQrs ctfn4ves>i(ear les plans ABC , ABË , seront «porpendictdiliM6«à UektrémitéHi'ùn rayon )>,»et la<aphèce seta Inscrite «dans -ie' polyèdre^ ou le polyèdrecrroonsoi^à'la aphèi<e..

Joignez OA, ^B; à cause de 'CAsrOB., les «deux <obkcf nés 0A, 'OB,-si^écartant*cgnlemeiit de la perpendiculaire, 'soront'éi^ales; il *éh «serii^de méAie ik cleux auMee lignes quelconques menées dn centre O 'aux extrén^tés d/on même côté; donc tdqtes ces lignes sont égales entres elles; donost'du^poirit O'oqralne>çentve et du rayon OA on décrit une surface sphérique, cette surface passera par les sommets de tous les angles solides du polyèdre , et la sphère sera circonscrite au ])olyèdre ou le polyèdre inscrit dans la sphère.

Cela posé, la solution du problème proposé n'a plus aucune difRcultéy et peut s'effectuer ainsi :

Étant donné le côté d'une^iace du polyèdre , décrivez cette fig. a49> face, et soit CD son apothème. Cherchez par le problème précédent Tinclinaison de deux faces adjacentes du polyèdre, et faites l'angle CDE égal à cette inclinaison. Prenez DE égale à CD f menez CO et EO perpendiculaires à CD et £D ; ces deux perpendiculaires se rencontreront en un point O, et CO sera le rayon de la sphère inscrite dans le polyèdre.

Sur le prolongement de DC prenez CA égale au rayon du cercle circonscrit à une face du polyèdre , et OA sera le rayon de la sphère circonscrite îi ce même polyèdre.

a6o GJBOMBTRIK.

Car les triangles rectangles CDO, CA.O, de la. fig* a49> sont égaux aux triangles de même nom dans la figure 24^: ainsi , tandis que CD et CA sont les rayons des cercles inscrit et circonscrit à une face du polyèdre, OC et OA sont les rayons des sphères inscrite et circonscrite au même polyèdre.

ScoUe. On peut tirer des propositions précédentes plusieurs conséquences.

i^ Tout polyèdre régulier peut être partagé en autant de pyramides régulières que le polyèdre a de faces : le sommet commun de ces pyramides sera le centre du polyèdre , qui est en même temps celui des sphères inscrite et circonscrite.

a^ La solidité d'un polyèdre régulier est égale à sa surface multipliée par le tiers du rayon de la sphère inscrite.

3^ Deux polyèdres réguliers de même nom sont deux solides semblables, et leurs dimensions homologues sont proportionnelles ; donc les rayons des sphères inscrites ou circonscrites sont entre eux comme les côtés de ces polyèdres.

4^ Si on inscrit un polyèdre régulier dans une sphère , les plans menés du centre le long des différents cÂtés partageront la surface de la sphère en autant de polygones sphériques égaux et semblables que le polyèdre a de faces.

MVRE VIII. a6r