LIVRE VIII

LES tROIS CORPS RONDS.

DipiiriTioifs.

L On appelle cylindre le solide produit par la révolu- fig.^Sn tion d'un rectangle ABCD, quon imagine tourner autour du côté immobile AB.

Dans ce mouvement les cotés AD, BG, restant toujours perpendiculaires à AB , décrivent des plans ]|circulaires égaux DPH, CGQi qu'on appelle les bases du cylindrey et la ligne CD, appelée génératrice, en décrit la surface latérale.

La ligne immobile AB s'appelle Vaxe du cylindre.

Toute section KLM, faite dans le cylindre, perpendiculairement à Taxe, est un cercle égal à chacune des bases : car pendant que le rectangle ABCD tourne autour de AB, la. ligne IK, perpendiculaire à AB, décrit un plan circulaire égal à la base, et ce plan n*est autre chose que la section faite perpendiculairement à Taxe au point L

Toute section PQGH, faite suivant l'axe, est un rectangle double du rectangle générateur ABCD.

IL On appelle cône le solide produit par la révolution Sg. «tSi. du triangle rectangle SAB , qu'on imagine tourner autour du coté immobile SA.

Dans ce mouvement, le côté AB décrit un* plan circu laire BDCE, qu'on appelle la base du cône, et l'hypoténuse SB en décrit la surface latérale*

Le point S s'appelle le sommet du cône^ SA Paxe ou la hauteur^ et SB le côté ou V apothème.

a62 GSOMSTHIE.

Toute section HKFI, faite perpendiculairement à Taxe, est un cercle j toute. section SDE , faîte suivant Taxe, est un triangle isocèle double du triangle générateur SAB.

III. Si du cône SCDB on retranche , par une section parallèle à la base, le -aàn^ Sf%j^)I^ \b f olide restant CBHF s appelle cône tronqué ou tronc de cône.

On peut suppôïel* qu'il e^t décrit par là. révolution du trapèze A£HG, dont l^s angles A et G sont droits , autour du côté AG. La ligne immobile AG s'appelle Caxe ou la hauteur du tronc; les cercles BDO, HFK, en sont les bases^ et BH en est le côté.

IV. Deux cylindres ou deux cônes sont semblables lorsque leurs axes sont entré eux comme les diamètres dé leurs bases.

fig.a5a. V« Si, dans le cercle ACD qiij sert de 'base à un cylindre, on inscrit un nolygone ABCDE, etque sur la Base ABCDB on élève un prisme ^roît égal en hauteur aii cylindre , le prisme est dit inscrit dans le cylindre^ oû'li* <îyiihdré eif^ conscrit au prism^.

Il est clair qua les arêtes AF> BG', GH, éW.V du prisme , étant perpendiculaires au plan de la baSè, sont comprises ()aps la surface convexe du cylindre; donc' lé' prisme et le cylipdre se touchent suivant ces arêtes.

fig. 253. ^I- Pareillement, si ABCD est un piolygone circonscrit à fai base d'un cyltndré, et que sur la base ABCD* on construise un prisme droit égal en tiauteuir au cylindre, ïe prisme est dit circonscrit au cylindre^ ou le cylindre inscrit dans le prisme. Soient M, N , etc., les point» de contact des côtéd AB , BG, etc., et soient élevées par les points M, ST, ètc.^ les perpendiculaires MX, NY, etc., au plan de kiyase, il est clair que ces perpendiculaires seront à la fois dans la surface du cytindre et dans celle du prisme circonscrit ; donc elles seront leurs lignes de contact.

. N, B.h^ oyUodre, le cftse et U Vtl>W MWt les mùa corpt, ronds. AoiA on aWcape dans les éléments.

HVRÇ viir, * a63

yp. IJfpu^ f/çpétei:9ps ici que noifs enteud|ons par surfffl^qonyexe) ^ne surface telle que par chacun çje ses points on pçuç ipe^ei; i|n plan qui la laisse tou( entière d'un n^ême C9t4,

\^ spljèjre est une surface convexe, car le plan tangent en qf)9que pçmt l^js^f. toute la sg|)^rC; d!un mén^e côtç.

l^ surfaqe; du qj}iç|dfg es| aussi convexe , car sj .par un de ses poipt§ qp içgRp la généfatriçe correspondait^, ^t la tangepte à la |)a^e. par r^tràiii|é de cette génératrice, le plan mené par ces deux droites laissera d*un mJènie côté toute \i siurface.dcf cyljndrcL

On verrait de même que la surface du^cône est convexe.

LEMMES PRÉLTMIIf iiÎŒS SUR LES SURFACES.

Une surface plane OXBCD est plus petite que toute fig.a54 autre surface PABCD , terminée au ' hufme' contour ABCD.

Nous admettrons cette proposition comme évidente.

Toute surface convexe OABCD est moindre quune fig.a55 autre surface quelconque qui enifelopperait la première en s*appujrant sur le même contour ABCp.

Ei;^ effet, si la |^urface QABCD n est pas plus petite que toutes celles qui Tenveloppent, soît parmi celles-ci PABCD, la surface la plus petite qui ser^ au plus égale à OABCD. Par un point quelconque Ô de la surface convexe OABCD faites passer un plan qui laisse cette surface d'un même côté, ce plan rencontrera la surface PABCDjCt la partie qu'il en

a64 G£OM£TRIE.

retranchera sera plus grande que le plan terminé à la même ♦ipin. I. surface*: donc, en conservant le reste de la surface PABCD, on pourrait substituer le plan à la partie retranchée, et on aurait une nouvelle surface qui envelopperait toujours la surface OABCD, et qui serait plus petite que PABCD. Mais celle-ci est la plus petite de toutes par hypothèse; donc cette hypothèse ne saurait subsister, donc la surface convexe OABCD est plus petite que toute autre sur&cequi envelopperait OABCD , et qui serait terminée au même contour ABCD.

Scolie. Par un raisonnement entièrement semblable on prouvera , fig. ^Sfi, i^ Que, si une surface convexe terminée par deux contours ABC , DBF , est enveloppée par une autre surface quelconque terminée aux mêmes contours, la surface enveloppée sera la plus petite ^des deux, fig. a57. 2i^ Que, si une surface convexe AB est enveloppée de toutes parts par une autre surface MN, soit qu'elles aient des points, des lignes ou des plans communs, soit quelles n'aient aucun point de commun , la surface enveloppée sera toujours plus petite que la surface enveloppante.

PROPOSITION PREMIÈRE

THBORBMB.

La solidité dun cylindre est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Inscrivons et circonscrivons à la base du cylindre, deux polygones réguliers semblables, et construisons les prismes droits ayant pour bases ces polygones, et même hauteur que le cylindre.

Soient & et B les bases de ces prismes ; r, Y, leurs volumes; H la hauteur du cylindre.