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la surface. iatpraki'^Mm^prkime dtoitfkpaw mç-
suœlepérimèêre^de sa hasc^ padtiplié.pan saMaïUeur,
fig. a53. '^' cette: surface (est é^\» à 4a somibe des .peetaiigles
AFGB, BGHC, CHID, etc., dont elle ^st icomp<ȑe $ or lef
lenteurs AF, fiG, Gif, <$tQ., de qts rectangles sont égales
à la hauteur du prism^ ; Uur^ ]^^ AB, BC, CD, etc., prises
ensemble , font le périmètre de la base du prisme. Donc la
somme de ces recpngliçs ou la surtaci^ latérale du pnsme
est égale au périmètre de sa base multiplié par sa hauteur.
Corollaire, Si deux prismes droits ont la ihême ha^téVir ,
les surfaces latérales de ces prismes seront entre elles commua
les périmètres de leurs bases. ' •
PROPOSITION IIL
THÉORÈME
r^, surface latérale (Tun cylindre est plus grafiàe
UVj^B VIII- 5)67
(fUei^ttenk Aw^/W«^^ {/?:i:f/T^:..fi(/^^^ fff
surface hitfix$ùi U0. tmt.prwf\e. mr^{sœL . .
i** Soient ABDE une des faces du prisni'e inscrit^ et AÇBDFE le fuseau cylindrique correspondant, je dis qu'on a ABDE < ACBDFE.
En effet, supposons d'abord qu'on ait ABDE > ACBDFE, et qu'il existe une différence d entre ces deux surfaces. Prolongeons la hauteur AE du cylindre jusqu'en G, de manière que AG soit égale à m foi» AE , et prolongeons en même temps le prisme et le cylindre ; le fuseau ACBHLG et le rectangle ABHG seront /71 fois plus grands que le fuseau ACBDFE et que le rectangle ABDE ; leur différence sera donc md. Or on peut disposer de m de manière que md soit plus grand que la somme des deux segments de cercle ACB, GLH; donc, puisqu'on a
ABHÇ - ACBHLG == /nrf,
ABHG *- ACBHLG > IA£SB ^ 6LH,-
dfiû- •• •; « ••- . • .1 •: i.'.-» ■; .,v 11-
ABH(i > ACBHfLÇ + ACB + GLHi
,Ç^t-àidîr« qjifV/^ surface pJlaifp A^'?!? «Çrait plus g^a^wle iquVw .W^^^ce..e^y,el9ppai>te term^çée au même (CpntQur ; o^nsf qu^ç^çe, aj^surde d'après le len^iirie I^
GliOBfKTRfK.
Supposons, en second lien, quon ail ABDE=ACBDFE, Menons par le milieu C de l'arc AB la génératrice CF, et les cordes AG, GB; on a dans le triangle ABC, AC+CB> AB; donc, puisque les trois rectangles EG, FB, EB^ont la même hauteur, la somme des deux premiers est plus grande que le troisième EB, ou, ce qui est la même chose, que le fuseau ACBFE; donc le rectangle EC, moitié de la somme des rectangles £C, FB , serait plus grand que le fuseau ACFE, moitié du fuseau ACBFE ; ce qui est impossible, d'après la première partie de la démonstration.
La face ABDE ne pouvant être ni plus grande que le fuseau ACBDFE, ni égale à ce fuseau, est nécessairement moindre; donc la surface du prisme inscrit est moindre que celle du cylindre.
2* Soient 6G, HG, deux faces consécutives du prisme circonscrit, je dis que le fuseau cylindrique AEFB est pins petit que la somme des deux recungles AG, DF.
Car si Ton supposait le fuseau AEFB plus grand que AG+DF , en superppsant un nombre convenable de cylindres égaux, on serait conduit, comme précédemment, à cette conclusion, qu'une surface convexe BFML est plus grande qu'une surface enveloppante, composée des deux rectangles LG, MC, pins des deux parties LNM, BGF ; et
