LIVRE VII

si Ton supposait ABFE = AC+DF, en menant les tangentes QR, ST par les milieux des arcs AE, BF, et remarquant que la ligne brisée AQRE est plus petite que AD+DE , on conclurait que la somme des rectangles AS, QT, RF, est moindre que AC+DF ou que le fuseau ABFE ; et en prenant la moitié de part et d'autre , que la somme des rectangles AS, QV, est moindre que le fuseau cylindrique ABVP; ce qiti est impossible d'après ce. qui a été dit ci-dessus.

Donc le fbseau BFEA est plus petit que AC+CE; donc la surface du cylindre est moindre que celle du prisme circonscrit.

PROPOSITION IV

TVJioÙMB.

La surface tatéraJe dwi cyliiube a pour mesure la circonfémice de sa base multipliée par sa hauteur.

^7^ CfâbMÉTRlE.

InscVivoiis et dtfconsciîvons à la bise Un Hîytindiie dte<nc polygones ré julters ïefhblaWes, et cohstruisonslétf prii?«i«te droits ayant ^<nif bases ces polygones, et tiléine hantée que le cylÎTi*dre.

La surface latérale 'du cyliWdrè est coirrptî^ eAtre lés siiVfaceS âe^ pnsiVies inscrît et drconSc^h , et 1 on phlou- {reraftj'dbuHiie rfaVis la pro'jyôsTtîon ï, tqn efi idteùfthrtt i#- Aéfînîfnëntlé nôVtibre c^es (iôtês de leurs bas'es^îefe sfMifcës des prismes inscrits et circonscrits ainsi obteniis, 'à'arai^frt pour limite commune la surface du cylindre.

Cela posé, soit H la hauteur du cylindre ; désignons en outre par S la surface d'un prisme circonscrit, et par P le périmètre de sa baiBe, on a •

:S=PXH.

Or, les quantités S, et Pxlt, varient, quand on double sans cesse le nombre des côtes du polygone circonscrit, et ont pour. limites^ la. surface du cylindre •. et cire, x H; donc . .

Surf, cylindre = cire. X H.

PR0P6BI*1ON îV.

jCà soiicàtf^iCkri Cf^r^k èst'c^gèèle'nù prOfBifYile'sà'dase pdr'îé tiers de''^ hauteur. ^ \* ^

ImmÎTôM etcirconserîwtmàlftbasfedti cAn'e SélMi^olygon'es réguliers éênil)labk6, et prénons-Tes pour bases nie pyramide» aybnt pour sommet le point S.

Les ^ôiuifheà deoes^pjfaniides coniprcfinnem entre eux' le ▼olumé du côneV'M-^ loi) double incléfimment le nombre des côtés dé leurs' bMe^, en conservant lé m^e sommet, les volumes des' pyramides inscrites et circonscrites^aottynt pour limiite commune I» volume dti^oône ( même démonstration ^be dans la •()roî)ositiof] !').>•

Soient doncH la hauteur dif oâne') V le vôlVime-d'uile pyramide circonscrite, fi la -surf&ee de sa bade , oti aura :

;',;;;■;■ y=Bx|; ,.... (o

et, en prenant les limites des deux* membres de cette égalité, ... *

Vol. 'cône == iîf^c, X ô- -

Corollaire. 'Vn'cone est le tiers d'un ^indrb de même 'basb'ët'de même bauteur ; d où il suit, . . *

T^ Que les canes d'égales hatrteurs sont entre euK eofiiine ynErs bWsdd. i * i .

lif Quëles eônes^ de iblises épates sont^fentre'êuK cdftîinle lei|rs hauteurs. • , , /,.. j, .'(> .^ - ,.

,3*" Que les cônes semblables sont comme les cubes des (liamètres de leurs l>ases , ou coinine les cuBf^s de leurs

■Mini» »'»•'•■■; .' • • î' ■

h^tlieMrs. . • .

Scolie. Soit R le rayon de la oasè d*un cône, H Sa hauteur ; tkVôTidîlédu cônes^ii'icft» X^TT oh ^i^R*»/

..'..>; f i r '■ '' • ■■ . PROPOSITION VI.

Le cône tronqiut AJ)UJày4ont AO, DP sont les rayons des bases et PO la /lauteur, a pour me- ^^' ^^^'

sure fit. OP. (â^ VÔP+ AO X DP).

a'j% oéoMitSiiE.

Soit TFGH une pyramide triangalairede même hauteur que le cône SÀB , et dont la base FGH soit équivalente à la base du cône. On peut supposer que ces deux bases sont placées sur un même plan ; alors les sommets S et T seront à égales distances du plan des bases, et le pkn EPD prolongé fera dans la pyramide la section IKL. Or je dis que cette section IKL est équivalente à la base DE; car les bases AB,DE, sont entre elles comme les carrés des rayons AO, DP, ou comme les carrés des hauteurs SO, SP; les triangles FGH, IKL, sont entre eux comme les carrés de ces mêmes hauteurs; donc les cercles AB, DE, sont entre eux comme les triangles FGH, IKL. Mais, par hypothèse, le triangle FGH est équivalent au cercle AB; donc le triangle IKL est équivalent au cercle DE.

Maintenant, la base Afi multipliée par |S0 est la sotidite du cône SAB, et la base FGH multipliée par |S0 est celle de la pyramide TFGH ; donc, à cause des bases équivalentes, la solidité de la pyramide est égale à celle du cône. Par une raison semblable , la pyramide TIKL est équivalente au cône SDE; donc le tronc de cône ADEB est équivalent au tronc de pyramide FGHIK.L. Mais la base FGH, équivalente au cercle dont le rayon est AO, a pour

mesure irxAO; de même la base IKL==7rxDP, et la

moyenne proportionnelle entre tç x AO et ic X DP est w X AO X DP ; donc la solidité du tronc de pyramide , ou celle du tronc de cône, a pour mesure | OP x

(wxAO'-hwxDP+TcxAOxDP), qui est la même chose

que Iw X OP X (ÂO+DP+AO X DP).

PROPOSITION VIL

THBOaiMB.

La sur/ace huérale€tumfyr€imHle réguliereShSCM^L