SAB=AB X
Donc, en ajoutant, on obtient pour la mesure de la surface latérale de la pyramide ,
(CD+BC+ AB+ AE+ED) x — • PROPOSITION VIII.
THBORÈMB.
La surface latérale dun cône a pour mesure la circonféience de sa hase multipliée par la moitié de son côté.
(*} L*apotUime est la perpendicalaire ahatssée du somiavt S snr ao des cAtés de la basr de la pyramide.
Soient OA. le rayon de la base du cône, et SA le côté. Inscrivons et circonscrivons au cône deux pyramides régulières, ayant pour bases deux polygones semblables.
On peut d*abord reconnaître fadlement que la surface du cône est comprise entre les surfaces dd ces deux pyramides régulières ; c^r si à la figure ci-dessus on adosse par la base une figure parfaitement égale , la surface du double cône enveloppera de toutes parts la double pyramide inscrite, et sera enveloppée par la double pyramide circonscrite ; donc la première surface sera plus grande que la seconde, et moindre que la troisième ; et en prenant la moitié de chacune, on arrive à la conclusion énoncée ci-dessus. • .
Maintenant, désignons pa^ S et .5 les surfaces des pyramides circonscrite et inscrite, et parP etp les périmètres de leurs basesi On a
^ SA Si
On voit par ces valeurs que si le nombre des côtés des bases va constamment en doublant, les surfaces S et s iront en se rapprochant Tune de l'autre, car S diminuera et s augmentera ; on peut même prouver que là différences — s peut devenir plus petite que toute quantité donnée.
i: 4V. c PxSA— />XSI hn etïe^ on a S-— s = ' •
LtVRB VIII. 2175
Or on flâit qu'en multipliant indéfiniment le nombre des côtés d^ bases, P et p différeront d'aussi peu qu'on voudra ; de plus , on a ddns le trianj^k SAI , $A— SI < AI, quantité qui a pour Untîte xéro ; donc {*) la différences — s peut être fetldue moindre que toute grandeur assignable | d*àilteurs la sutfocé du cÂne eit toujours comprise entre Sels i dohô elle est leur limite commune.
SA Or on a S=iP X — J
donc en prenant les limites des deux membres,
Suirf. cône = cire, x — • a
Scolie. Soit L le côté d'un cône, R leirayon de sa base, la circonférence de cette base sera aTcR, et la surface du cône aura pour mesure airR x|L, ou tcRL.
PROPOSITION IX
THEOREME.
La surface latérale du tronc de cône ADEB a pour ^^ ^gj, mesure son tôté AD multiplié par la demi-^jamme des circonférences de ses deux bases AB^ DE.
Dan^ le pLin SA^ qui passe par l'axe SO, menez perpendiculairement à SA la ligne AF y égale à la circonférence qui a pour rayon AO ; joignez SF, et menez DH parallèle à AF.
A cause des triangles semblables SAO , SDC, on aura AO : DG :: SA : SD ; et à cause des triangles semblables SAF, SDH, on aura AF : DH :: SA : SD; donc AF : DH ::
(*} Noua admettons ici, comme one chose «Tideute, que la différeace entre deut produits AX B et A'XB', jreol diereoir aussi petite qu'on Youdni , lorsqv» les différeoces A — « A^ B — » B' btit tièro ponr limite».
276 GËOMBTRIE.
AO : DG , ou :: cire. AO : cire. DC Mais par construction AF = cire. AO ; donc DH =ci>c, DC. Ceja posé, le triangk SAF, qui a pour mesure AF X ^SA, est égal à la surface du cône SAB qui a pour mesure cire. AOx^SA* Par une raison semblable, le triangle SDH est égal.à la. surface du cône SDE. Donc la sur&oe du tronc ADEB est égale à celle du
trapèze ADHF. Celle-ci a pour mesure AD x ( — - )>
donc la surface du tronc de cône ADEB a pour mesure son côté AD multiplié par la demi-somme des circonférences de ses deux bases.
Corollaire. Par le point I, milieu de AD, menez IKL parallèle à AB , et IM parallèle à AF ; on démontrera comme ci-dessus que IM = cire. IK. Mais le trapèze ADHF=AD X IM=:AD x cire. IK. Donc on peut dire encore que la surface cVun tronc de cône a pour mesure son côté multiplié par la circonférence d^ une section faite à égale distance des deux bases.
Scolie. Si une ligne AD, située tout entière d*un même côté de la ligne OC et dans le même plan , fait une révolution autour de OC, la surface décrite par AD aura pour
. /cire. AO-^ circ.DC\ .^ . „. ,
mesure AD X ( ^ j, ou AD x cire. IK; les
lignes AO , DC , IK , étant des perpendiculaires abaissées des extrémités et du milieu de la ligne AD sur Tare OC.
Car si on prolonge AD et OC jt^squ'à -leur reficontre mutuelle en S, il est claii^ que la surface déciive |lar AD est celle d*un cône tronqué dont OA et DC sont les rayons des bases, le cône entier ayant pour sommet le point S. Donc cette surface aura la mesure mentionnée.
Cette mesure aurait toujours lieu, quand même le point D tomberait en S, ce qui donnerait un cône entier, et aussi quand la ligne AD serait parallèle à l'axe, ce qui donnerait un cylindre. Dans le premier cas DC serait nulle , dans le second DC serait égale à AO et à IK.
