PREMIÈRE PARTIE

Fig. 22.

Comme on a l’habitude de donner la forme symétrique de ces figures aux bassins, aux fontaines, aux places publiques, etc., il est bon, avant d’apprendre à les mesurer, de voir de quelle manière on les trace.

Manière de décrire un polygone régulier, pentagone , hexagone , etc.

On décrit une circonférence de cercle, on la partage en autant de parties égales qu’on veut donner de côtés au polygone; ensuite on mène les lignes AB, BD, DE, etc., par les points A , B, D, E, etc. ( fig . 20, 21, 22), qui partagent la circonférence : on a le polygone cherché, qu’on nomme ou pentagone , ou hexagone , ou heptagone, ou octogone, ou ennéagone, ou décagone , etc., suivant qu’il a ou cinq , ou six , ou sept, ou huit, ou neuf, ou dix, etc., côtés.

Mesure de la surface d’un polygone régulier ; l’apothème est la perpendiculaire abaissée du centre de la figure sur un de ses côtés.

Pour avoir la mesure d’un polygone régulier, on pourrait employer la méthode qu’on a déjà donnée (|3) pour toutes les ligures rectilignes; mais pour y arriver plus rapidement, on partage le polygone en triangles égaux , qui aient tous le centre C pour sommet. Prenant ensuite un de ces triangles, CBD par exemple (fig. 22, et tirant sur la base BD la perpendiculaire CK, nommée

1 6 GÉ0MÉTH1E.

apothème du polygone, l’aire du triangle vaudra le produit de la base BD par la moitié de CK , et ce produit , pris autant de fois que le polygone a de côtés , donne l’aire de la figure entière.

Le triangle équilatéral est celui qui a les trois côtés égaux ; manière de le décrire.

En partageant la circonférence du cercle en trois parties égales, on forme un triangle nommé communément triangle équilatéral ; en partageant la circonférence en quatre parties égales, on forme un carré : mais ces deux figures, les plus simples de tous les polygones, peuvent aisément se tracer, sans qu'il soit nécessaire d’avoir recours à la division du cercle; c’est ce qu’on a déjà vu ( 9 ) pour le carré. Pour décrire un triangle équilatéral sur une base donnée AB (fig. 23), il faut, des Fig. 23. points A et B comme centres, et £ ..C ...H d’une ouverture de compas égale à AB,

A tracer les arcs DCE et GCH ; ensuite des points A et B mener les lignes AC, BC, au point C, section commune des deux arcs DCE, GCH, et B sommet du triangle.

Manière de tracer un pentagone régulier .

A la méthode de décrire géométriquement le triangle équilatéral et le carré, les premiers de tous les polygones , je pourrais joindre celle de tracer géométriquement un pentagone, comme plusieurs auteurs l’ont fait dans les Éléments qu’ils nous ont donnés; mais parce que les commençants , pour qui seuls nous travaillons ici , n’apercevraient qu’avec peine la route qu’a dû suivre

BBEMIÈBE PABTIE. 17

l’esprit en cherchant la manière de tracer cette figure , route que l’algèbre nous met à portée de découvrir, nous nous croyons obligés de renvoyer la description du pentagone au Traité qui suivra celui-ci, et dans lequel on joindra cette description à celle de tous les autres polygones qui auront un plus grand nombre de côtés, et qui, sans le secours de l’algèbre, ne pourraient être décrits géométriquement 1 .

Des polygones qui ont plus de cinq côtés, et que je dis ne pouvoir être décrits que par le moyen du calcul algébrique, il en faut excepter ceux de 6 , de 1 2 , de 24, de 48 , etc., côtés , et ceux de 8, de I G, de 32, de 64, etc., côtés, qu’on peut aisément décrire par les méthodes que fournit la géométrie élémentaire, comme on le verra à la fin de cette première partie.

Utilité de savoir construire des figures égales à des figures données.

Je suppose que ABC DE ( fig . 24) soit la figure d’un champ, d’un enclos, etc., dont on veut avoir la me- Fig. 24. sure. Suivant ce qu’on a vu,

A il faudrait partager ABCDE

en triangles tels que ABC, ACD, ADE; ensuite mesurer Y\^** Vr ces h‘i angles » après avoir

• X abaissé les perpendiculaires

\/' — EF, j bg : mais si dans

D G l’espace ABCDE il se trouve

quelque obstacle, une élévation par exemple, un bois, un étang, etc., qui empêche qu’on ne mène les ligues

1. Pour inscrire un pentagone régulier, il faut partager le rayon du cercle en moyenne et extrême raison , et porter le plus grand , segment de ce rayon dix fois comme corde sur la circonférence.

1 8 GÉOMÉTBIE.

dont on aura besoin, que faudra-t-il faire alors? Quelle méthode faudra-t-il suivre pour remédier à l’inconvénient du terrain? Celle qui se présente d’abord à l’esprit, c’est de choisir quelque terrain plat, sur lequel on puisse opérer facilement, et de décrire sur ce terrain des triangles égaux aux triangles ABC, ACD, etc. Voyons comment on s’y prendra pour former les nouveaux triangles.

Construire un triangle égal à un triangle donné dont on connaît les trois côtés.

Commençons par supposer que l’obstacle se trouve fig . 25 . dans l’intérieur du triangle ABC

(fig. 25), dont les côtés seront connus, et qu’on veuille tracer un triangle égal sur le terrain choisi : d’abord, on décrira une ,g ligne DE égale au côté AB [fig. 25 et 26); ensuite, prenant une corde de la longueur BC et fixant une de ses extrémités en E, on décrira l’arc IFG, qui aura la corde pour rayon ; et par le moyen d’une autre corde, prise égale à >E AC, et dont on attachera pareillement un des bouts en D, on tracera l’arc KFH, qui coupera le premier au point F. Alors menant les lignes DF etFE , on aura un triangle DEF égal au triangle proposé ABC; ce qui est évident : car les côtés DF et EF, qui s’uniront au point F, étant respectivement égaux aux côtés AC et BC , unis au point C , et la base DE ayant été prise égale à AB, il ne serait pas possible que la position

PBEMTÈBE PABTIE.

des lignes DF et EF sur DE fût différente de la position des lignes AC et BC sur AB. Il est vrai qu’on pourrait prendre les lignes D f, E f, au-dessous de DE; mais le triangle se trouverait encore le même , il serait simplement renversé.

Un angle est l'inclinaison d’une ligne sur une autre.

Si l’on ne pouvait mesurer que deux des trois côtés du triangle ABC ( fig . 27), les deux côtés AB, BC par exemple , il est clair qu’avec cela seul on ne pourrait pas déterminer un second triangle égal à ABC {fig. 27 et 28);

Fig. 27. Fig. 28.

car, bien que l’on ait pris DE {fig. 28) égal à BC et DF égal à BA , on ne sait quelle position donner à celle-ci , relativement à l’autre. Pour lever cette difficulté , la ressource qui se présente est simple : on fait pencher DF de la même manière sur DE que AB penche sur BC; ou, pour s’exprimer comme les géomètres, on donne à l’angle FDE la même ouverture qu’à l’angle ABC.

Faire un angle égal à un angle donné ; construire un triangle égal à un triangle donné dont on connaît un angle et les deux côtés de l’angle •

Pour faire cette opération, on prend un instrument tel que abc, composé de deux règles qui puissent tourner autour de b , et l’on pose ces règles sur les côtés AB et BC : par là , elles font entre elles le même angle que

20 GÉOMÉTBIK.

les côtés AB et BC. Plaçant donc la règle bc sur la base DE, de manière que le centre b réponde au point D , et que l’ouverture de l’instrument reste toujours la même, la règle ab donnera la position de la ligne DF, qui fera avec la ligne DE l’angle FDE, égal à l’angle ABC. Or, la ligne DF aura été prise de même longueur que BA : donc il ne s’agira plus que de mener par F et par E la droite FE, pour avoir le triangle FED égal au triangle ABC. Pratique simple, qui suppose ce principe évident, qu’un triangle est déterminé par la longueur de deux de ses côtés et par leur ouverture; ou, ce qui revient au même , qu’un triangle est égal à un autre lorsque deux de leurs côtés sont respectivement égaux et que l’angle compris entre ces côtés est également ouvert.

Autre manière de faire un angle égal à un autre ; la corde d’un arc de cercle est la droite qui joint les extrémités de l’arc.

On pourrait encore faire l’angle FDE [fig. 29 et 30) égal à l'angle ABC , de la manière suivante :

Fig. 29. Fig. 30.

. Du centre B et d’un intervalle quelconque B«, on décrit un arc ahc ; ensuite du centre D et du même intervalle, on trace l’arc eif : on n’a plus qu’à chercher un point f, qui soit placé sur l’arc eif de la même manière que a se trouvera placé sur l’arc cha. Or, ce point f se trouve facilement par la droite ac, qui, suivant la définition ordinaire, se nommera la corde de l’arc ahc.

PREMIÈBE PARTIE. 2 1

Car si , du centre e et d’un intervalle égal à ac , on décrit l’arc //%, l’intersection des deux arcs eif, Ifk donnera le point cherché f.

On tire ensuite par D et par f la ligne D/T, on a l’angle FDE égal à l’angle ABC; ce qui est évident (26), puisque les triangles Bac, D/e seront égaux.

Construire un triangle égal à un triangle donné dont on connaît deux angles et un côté.

Lorsqu’on veut faire le triangle FDE ( fig . 27 et 28) égal au triangle ABC, s’il arrive qu’on ne puisse mesurer qu'un des côtés, BC par exemple, on a recours aux angles ABC et ACB. Ayant fait DE égal à BC, on place les lignes FD et FE de manière qu’elles fassent avec DE les mêmes angles que AB et AC font avec BC : alors, par la rencontre dè ces lignes, on a le triangle FDE égal au triangle ABC. Le principe que suppose cette opération est de lui-même si simple, qu’il n’a pas besoin d’être démontré.

Le triangle isocèle est celui qui a deux côtés égaux ; les angles que ces côtés forment avec la base sont égaux entre eux.

Si des trois côtés du triangle ABC [fig. 31) on ne pouvait mesurer que la base BC, et qu’on sût d'ailleurs

que ce triangle fût isocèle, c’est-à-dire que les deux côtés AB et AC fussent égaux, \ il est évident qu’il suffirait \ de mesurer un des deux

i / \ 1 angles ABC, ACB; car alors

® B C E |’ au t r e lui serait égal.

En effet, si l’on suppose que les deux côtés AB, AC

du triangle ABC soient d’abord couchés sur BD et sur CE , prolongements de la base BC , et qu’ensuite on les relève pour réunir leurs extrémités au point A, l’égalité de ces deux côtés les empêcherait de faire plus de chemin l’un que l’autre. Donc étant joints, ils pencheraient également sur la base BC; donc l’angle ABC serait égal à l’angle ACB.

Construire un polygone égal à un polygone donné ,

Quels que soient les obstacles que dans la mesure des terrains on rencontre dans leur intérieur, il sera facile , par la méthode précédente, de transporter sur un terrain libre tous les triangles qui partageront l’espace qu’on voudra mesurer.

Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de mesurer

un bois dont la figure soit Fig.it. ^ ABCDEFG [ftg. 3a).

On prend d’abord un triangle égal à ABC : ce qu’on peut faire sans entrer dans l’intérieur de ce triangle, en mesurant les deux côtés AB, BC, et l’angle compris CBA.

Ce triangle décrit donnerait l’angle BCA et la longueur de AC ; et comme on peut mesurer le côté extérieur DC, on aurait dans le triangle CAD les côtés DG et CA. Quant à l’angle DCA, on le trouverait en prenant

Fig. 33 .

d’abord l’angle IKL ( fig . 32 et 33} égal à l’angle DCB, ensuite l’angle LKO égal à l’angle BCA, ce qui donnerait l’angle restant 1KO égal à l’angle cherché DCA.

Le triangle ADC ainsi dé-