PREMIÈRE PARTIE

terminé par les deux côtés DC et CA et par l’angle compris DCA, on connaîtrait de même le triangle DAG et le reste de la figure.

Utilité de savoir construire des figures semblables à des figures données.

La méthode qu’on vient de donner pour mesurer les terrains dans lesquels on ne saurait tirer des lignes fait souvent naître de grandes difficultés dans la pratique. On trouve rarement un espace uni et libre assez grand pour faire des triangles égaux à ceux du terrain dont on cherche la mesure; et même quand on en trouverait, la grande longueur des côtés des triangles pourrait rendre les opérations très-difficiles. Abaisser une perpendiculaire sur une ligne, d’un point qui en est éloigué seulement de 1 000 mètres, serait un ouvrage extrêmement pénible et peut-être impraticable. 11 importe donc d’avoir un moyen qui supplée à ces grandes opérations.

Ce moyen s’offre comme de lui-même. 11 vient bientôt dans l’esprit de représenter la figure à mesurer ABCDE (fig. 34 et 35 ) par une figure semblable abcde, mais

Fig. 34 . Fig. 35 .

plus petite, dans laquelle, par exemple, le côté ab soit de 400 décimètres, si le côté AB est de 100 mètres, le côté bc de 45 décimètres, si BC est de 45 mètres; et de conclure ensuite que si l’étendue de la figure réduite

abcde est de 60 000 décimètres carrés, celle de la figure

ABCDE doit être de 60 000 mètres carrés.

Mais, avant toutes choses, il faut savoir en quoi consiste la ressemblance ou similitude de deux figures.

En quoi consiste la similitude de deux figures.

Pour peu qu’on y réfléchisse , on reconnaîtra bientôt que les deux figures ABCDE, abcde [fig. 34 et 35), pour être semblables, doivent être telles, que les angles A, B, C, D, E, de la grande soient égaux aux angles a, b, c, d , e, de la petite, et que, de plus, les côtés ab, bc , cd, etc., de la petite contiennent autant de parties p que les côtés AB , BC , CD, etc., de la grande contiennent de parties P.

Les figures semblables ont les côtés homologues proportionnels.

Pour que deux figures soient semblables, les géomètres disent qu’il faut que les côtés AB, BC, CD [fig. 34, 35), etc., soient proportionnels aux côtés ab, bc, cd , etc.; ou que le côté AB contienne ab de la même manière que BC contient bc , etc.; ou que le côté AB soit aussi grand , par rapport à ab , que BC l’est par rapport à bc, etc.; ou encore, qu’il y ait même raison ou même rapport entre AB et ab qu’entre BC et bc ; ou enfin , que AB soit à ab comme BC à bc, etc. Toutes ces expressions sont synonymes.

Manière de faire une figure semblable à une autre.

Après avoir vu en quoi consiste la similitude d© ■deux figures , cherchons quel est le procédé qui se pré»

PBEMIÈBE PABTIE. 25

sente le plus naturellement pour tracer une figure semblable à une autre. Pour cela, représentons-nous un dessinateur qui veut copier une figure en la réduisant.

D’abord prenant ab pour représenter la base AB de la figure à copier ABCDE, il incline sur ab les côtés ae et bc de la même quantité que AF et BC sont inclinés sur AB , en ayant soin que les longueurs de ae et de bc soient à celle de ab comme les longueurs de AE et de BC sont à celle de AB; c’est-à-dire que si AE, par exemple, est la moitié de AB, il fait ae égal à la moitié de ab , et qu’il en use de même pour déterminer la longueur de bc relativement à BC.

Ayant ainsi déterminé les points e et c, il trace deux lignes ed et cd , qu’il incline sur ea et sur cb de la même manière que ED et CD sont inclinés sur EA et sur CB ; et, prolongeant ces lignes jusqu’à ce qu’elles se rencontrent en d , il achève sa figure abcde.

Utilité de connaître les conditions de similitude de deux figures.

En réfléchissant sur cette construction , on voit qu’elle n’est appuyée que sur l’égalité qui est entre les angles E, A, B, C, et e, a, b, c, et sur la proportionnalité des côtés EA , AB, BC, et des côtés ea, ab , bc ; qu’ainsi la figure se trouve finie sans qu’on ait pris l’angle d égal à l’angle D, ni les côtés ed, cd, proportionnels aux côtés ED, CD; réflexion qui d’abord pourrait faire craindre que l’angle d ne fût pas effectivement égal à l’angle D , ni les côtés ed,cd, proportionnels aux côtés ED , CD, et que , par conséquent , la figure abcde ne se trouvât pas entièrement semblable à la figure ABCDE. Mais n'eût- on que l’expérience pour se rassurer, ce doute se dissiperait bientôt; ensuite, avec un peu d’attention, on sent que de l’égalité respective des quatre angles E, A ,

Clairaut. Géométrie. .2

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B, C, et e, a, b, c, et de la proportionnalité des trois côtés EA, AB, BC, et ea, ab,bc , résultent nécessairement l’égalité des angles D , d , et la proportionnalité des côtés ED, CD , et ed, cd.

Cependant, pour écarter tout soupçon, démontrons que toutes les conditions que demande la similitude de deux figures sont nécessairement dépendantes les unes des autres; ce qu’il nous sera facile de faire en examinant d’abord les triangles, qui sont les figures les plus simples, et qui entrent nécessairement dans la composition de toutes les autres; examen qui nous conduira à toutes les propriétés et à tous les usages des figures semblables.

Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, le troisième angle de l’un égale le troisième angle de Vautre.

Supposons que sur la base ab ( fig . 36 et 37) on trace le triangle abc , en ne prenant que les angles cab, cba

Fig. 36 . Fig. 37 .

égaux aux angles CAB, CBA du triangle ABC; on s’assurera premièrement que le troisième angle acb égalera le troisième angle ACB.

Car, soit posé le triangle abc sur le triangle ABC, de manière que le point a se trouve sur le point A , ab sur AB, ac sur AC; il est clair que cb sera parallèle à CB, et cela parce que le côté cb, prolongé, ne pourrait rencontrer le côté CB, que les deux lignes ne penchassent inégalement sur AB, et que, par conséquent, les angles cbK