PREMIÈRE PARTIE

et CBA fussent inégaux ; ce qui serait contre la supposition.

Comme de l’égalité des angles cba et CBA il résultera que les lignes cb, CB seront parallèles, du parallélisme de ces lignes il résultera aussi que les angles A cb , ACB seront égaux ; ce qu’il s’agissait de prouver.

Deux triangles dont les angles sont respectivement égaux ont leurs côtés homologues proportionnels.

Maintenant démontrons que les côtés homologues, c’est-à-dire qui se répondent dans deux triangles acb et ACB (fig. 36 et 37), qui ont les mêmes angles, sont proportionnels.

Pour fixer nos idées, supposons d’abord que ab soit la moitié de AB ; il faudra que nous prouvions que ac sera aussi la moitié de AC, et bc la moitié de BC. Que acb, ainsi que dans le numéro précédent , ait encore la position Acb : si l’on mène cg parallèle à AB, il est clair que cette ligne égalera 6B ou A b , et que $rB égalera de même cb. Or, comme les angles C gc et C cg seront manifestement égaux aux angles cbk et cAb, le triangle C cg égalera le triangle cAb (30). Donc on aura Ce égal à Ac, et Cg égal à cb ou à gB; donc Ac ou ac sera moitié de AC, et cb moitié de CB.

Si ab (fig. 36 et 38) était contenu trois, quatre, ou tel autre nombre de fois qu’on voudrait , dans AB , il

serait également facile de démontrer que ac serait contenu le même nombre de fois dans AC, et cb dans CB. Car des points de division b, f de la base AB, menant bc, fh, etc., parallèles à BC, on pourrait A L ~ ^ placer le long de AC, trois.

quatre, etc. , triangles kcb, chg, hCi , etc., égaux aux triangles acb, kcb.

Mais que ab ( fig . 36 et 39), au lieu d’être contenu exactement un certain nombre de fois dans AB , n’y fût

contenu qu’avec quelque fraction, deux fois et demie par exemple , on prouverait que ac serait aussi contenu deux fois et demie dans AC , et bc deux fois et demie dans BC.

Car, lorsque par le moyen des parallèles bc, fh, on aurait placé le long de AC les deux triangles kcb, chg, égaux à acb, il resterait entre les deux parallèles hf et CB de quoi placer un triangle C hi, dont les côtés seraient moitié des côtés de ckb; ce qui est évident, puisque, par la supposition, /B seraitla moitié de kb etque la base hi du triangle C hi égalerait fB, à cause des parallèles hf, CB. Donc, en général, lorsque deux triangles ABC, abc, ont les mêmes angles, ces triangles, nommés triangles semblables , ont leurs côtés proportionnels, ou, ce qui revient absolument au même, les côtés AB, BC, AC, de l’un de ces triangles ABC contiennent le même nombre de parties P que les côtés ab, bc, ac, de l’autre triangle abc contiennent de parties p, P étant le décimètre, le mètre, etc., ou, en général, l’échelle avec laquelle ABC a été construit, et p celle dont on s’est servi en construisant abc.

Ditkser une ligne en autant de parties égales quon voudra.

De la proposition que nous venons de démontrer, se tire naturellement la solution d’un problème souvent utile dans la pratique.