PREMIÈRE PARTIE

On demande qu’une ligne soit divisée en un nombre donné de parties égales; ce qui se pourrait faire, à la vérité, en tâtonnant, mais jamais avec cette sûreté que donne l’exactitude géométrique.

Supposons, par exemple, qu’on ait à diviser AB [fig. 38) en trois parties égales : on commence par tirer une ligne indéfinie AC, qui fasse un angle quelconque avec AB; ensuite on porte sur cette ligne trois parties égales A c , ch y hC, d’une ouverture de compas prise à volonté; puis on tire CB , et l’on mène â cette droite les parallèles cb ,hf : par là, AB , coupée aux points b et f, se . trouve partagée en trois parties égales ; çe qui est clair par le numéro précédent.

Moijen de trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données. ,

Si l’on voulait diviser une ligne en un nombre fractionnaire de parties, comme deux et demie , trois et un quart, etc., ou bien qu’on proposât, en général, de diviser la ligne AB au point b, en sorte que AB fût à A6 comme la ligne NO [fig. 39) est à la ligne MQ, on voit encore que la solution du problème dépendrait du n° 39 , c’est-à-dire qu’il faudrait tirer par A une droite quelconque, prendre sur cette droite A c et AC respectivement égales à MQ et à NO, et ensuite mener cb parallèle à CB ; alors le point b serait le point cherché.

Les géomètres énoncent de cette autre manière le problème que nous venons de résoudre : Trouver à trois lignes NO, MQ, AB, une quatrième proportionnelle.

Les hauteurs des triangles semblables sont proportionnelles à leurs côtés.

Il est évident que deux triangles semblables ABC, abc (fig. 40 et 4l), auront non-seulement leurs côtés pro-

Fig. 40 . Fig. 41 .

portionnels, mais que les perpendiculaires CF, cf, qu’on abaissera des sommets C , c sur les bases AB , ab , suivront encore la proportion des* côtés : ce qu’il est si facile de démontrer par ce qui précède, que nous négligerons de nous y arrêter.

Comparaison des aires des figures semblables.

Quant à l’aire des triangles semblables ABC, abc {fig. 40 et 41), on voit que celle du premier contiendra autant de carrés X faits sur la mesure P que l’aire du second contiendra de carrés x faits sur la mesure p. Car comme CF et AB auront, par le numéro précédent, autant de parties P que cf et ab auront de parties p, la moitié du produit de CF par AB , mesure de ABC (14), donnera le même nombre que celui qui résultera de la moitié du produit de cf par ab , mesure de abc, mais avec cette différence, que CF et AB se comptant en