PREMIÈRE PARTIS

parties P, leur produit se comptera en carrés X , et que ef et ab, qui se compteront en parties p, donneront un produit qui se comptera en carrés x.

Les aires des triangles semblables sont proportionnelles aux carrés des côtés homologues.

Ce que nous venons de dire sur la mesure des triangles semblables sert de preuve à une proposition qui, dans les éléments de Géométrie , s’énonce ordinairement ainsi : Les triangles semblables ABC , abc {fig. 40 et 4 1) , sont entre eux comme les carrés ABDE, abde, de leurs côtés homologues ou correspondants AB, ab.

La démonstration que renferme le numéro précédent mène absolument à cette conséquence; car le carré ABDE contenant autant de X que abde contient de x, il est évident que les deux nombres de carrés X , qui * expriment le rapport du triangle ABC au carré ABDE, sont les mêmes que les nombres de carrés x qui donnent le rapport du triangle abc au carré abde , ou , ce qui revient au même, que le triangle ABC est au carré ABDE comme le triangle abc est au carré abde.

De là il suit que si, par exemple, le côté AB était double du côté ab, le triangle ACB serait quadruple du triangle acb; que si AB était triplé de ab, le triangle ACB serait neuf fois plus grand que le triangle acb, etc. : car AB ne peut être double de ab , que le carré ABDE ne soit quadruple du carré abde, etc.

Propriétés des figures semblables tirées de celles des triangles.

Pour passer présentement des triangles aux autres figures, supposons qu’à chacun des triangles semblables

ABD, abd ( fig . 34 et 35), on joigne deux autres triangles ADE et BDC , ade et bdc , les deux premiers semblables aux deux autres ; on verra que dans les figures totales ABCDE , abcde :

1° Les angles A, B, C, D, E seront les mêmes que les angles a, b, c, d, e; ce qui est clair, puisque les uns et les autres seront, ou des angles correspondants de triangles semblables, ou des angles composés de ces angles correspondants.

2° On verra que le rapport des côtés homologues ou correspondants DE, de, BC, bc, etc., des figures ABCDE, abcde, sera nécessairement le même, c’est-à-dire que si P, par exemple, se trouve un certain nombre de fois dans la base AB, et que p se trouve le même nombre de fois dans ab, P et p seront aussi contenus un même nombre de fois dans deux côtés homologues quelconques DE et de. Car, par la similitude des triangles ABD, abd, la quantité de P que renfermera AD égalera la quantité de p renfermée dans ad; alors regardant ces côtés comme les bases des triangles semblables ADE, ade, le nombre de parties P contenues dans DE sera le même que le nombre de parties p que contiendra le côté de.

3° On verra encore que si dans les deux figures on tirait des lignes qui se répondissent, telles que CE, ce, ou les perpendiculaires DF, df, etc., ces lignes seraient toujours entre elles comme les côtés homologues des deux figures.

Donc les figures ABCDE, abcde seront entièrement semblables dans toutes leurs parties.

Construire un polygone égal à abcde et par conséquent semblable à ABCDE (fig. 34 et 35).

La figure abcde ainsi décrite étant parfaitement sem-