PREMIERE PARTIE

Manière de vérifier la mesure des angles.

Comme il importe dans la pratique, ainsi que nous l’avons déjà dit, que les angles soient exactement mesurés , il ne faut pas se contenter de les prendre , même avec les instruments les plus parfaits; il faut encore trouver le moyen de vérifier leurs mesures, pour en faire la correction , s’il était nécessaire. Or ce moyen est simple et facile. Reprenons le triangle ABC [fig, 51). On sent que la grandeur de l’angle C doit résulter de celle des angles A et B; car, lorsqu’on augmente ou qu’on diminue ces angles, la position des lignes CA, BC change , et paï conséquent l’angle C que cés lignes font entre elles. Or, si cet angle dépend de la grandeur des angles A et B, on doit présumer que ce que les angles A et B renferment de degrés doit déterminer le nombre des degrés que doit renfermer l’angle C , et qu’ ainsi il pourra servir de vérification aux opérations qu’on aura faites pour déterminer les angles A et B , puisqu’on sera sûr qu'on aura bien mesuré les angles A et B si , en mesurant ensuite l’angle C, on lui trouve le nombre des degrés qui lui conviendront relativement à la grandeur des angles A et B.

Pour trouver comment de la grandeur des angles A et B on peut conclure celle de l’angle C, examinons ce qui arriverait à cet angle si les lignes AC, BC venaient

Fig. 53.

ou à s’approcher ou à s’écarter l’une de l’autre. Supposons, par exemple, que BC (fig . 53), tournant autour du point B, s’écarte de AB pour s’approcher de BE : il est clair que pendant que BC tournerait, l’angle B s’ouvri-' rait continuellement , et qu’au contraire l’angle C se resserrerait de plus

42 GÉOMÉTBIE.

en plus; ce qui d’abord pourrait faire présumer que, dans ce cas, la diminution de l’angle C égalerait l’augmentation de l’angle B , et qu’ainsi la somme des trois angles A, B, C serait toujours la même, quelle que fût l’inclinaison des lignes AB, BC, sur la ligne AE.

Les angles alternes sont les angles renversés que forme de part et d’autre une droite qui tombe sur deux parallèles. Ces angles sont égaux.

Cette induction présumée porte avec elle sa démonstration ; car, menant 1D {fig. 54) parallèle à AC, on voit, premièrement, que les angles ACB et CBD, appelés angles alternes , sont égaux : ce qui est évident, puisque les lignes AC et IB étant parallèles, elles sont également inclinées sur CBO , et qu’ainsi l’angle IBO égale l’angle ACB. Mais l’angle IBO égale aussi l’angle CBD, parce que la ligne ID n’est pas plus inclinée sur CO d’un côté que de l’autre : donc l’angle DBC, égal à l’angle IBO, égalera l’angle ABC, son alterne.

La somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits.

On voit , en second lieu , que l’angle CAE (fig. 54) est égal à l’angle DBE, à cause des parallèles CA etDB. Donc les trois angles du triangle étant mis à côté les uns des autres, et unis par leurs sommets au point B, on voit que les trois angles DBE, CBD et CBA, qui égalent les trois angles CAB, ACB et CBA, sont égaux à deux angles droits (57). Or, comme tout ce que nous venons de dire

PBEMIÈHE PARTIE. 43

peut également s’appliquer à quelque triangle que ce soit , on sera assuré de cette propriété générale , que la somme des trois angles d’un triangle est constamment la même, et qu’elle est égale à celle de deux droits, ou, ce qui revient au même, à 180 degrés.

Manière de trouver la valeur du troisième angle d'un triangle dont on connaît les deux autres angles.

Pour conclure la valeur du troisième angle d’un triangle, lorsqu’on en a mesuré deux, il faut retrancher de 1 80 degrés le nombre des degrés que les deux angles font ensemble : propriété qui donne une manière bien commode de vérifier la mesure des angles d’un triangle, et dont on verra successivement une infinité d’autres utilités. Nous nous contenterons ici d’en tirer les conséquences les plus immédiates.

Un triangle ne peut avoir plus d’un angle droit ou obtus.

Un triangle ne peut avoir plus d’un angle droit; à plus forte raison , ne peut-il avoir plus d’un angle obtus.

Dans un triangle rectangle , la somme des angles aigus est égale à un angle droit.

Si l’un des trois angles d’un triangle est droit, la somme des deux autres angles est toujours égale à un droit.

Ces deux propositions sont si claires , qu’elles n’ont pas besoin d’ètre démontrées.

GÉOMÉTHIE.

L’angle extérieur d’un triangle vaut la somme des deux angles intérieurs opposés.

Si l’on prolonge un des côtés du triangle ABC {fig. 54), par exemple le côté AB, l’angle extérieur CBE vaudra seul les deux angles intérieurs opposés BCA et CAB. En effet, sfà l’angle CBA on ajoute ou les deux angles BCA et CAB, ou l’angle CBE, la somme sera toujours égale à 180 degrés ou à deux angles droits (64).

Un angle d'un triangle isocèle donne les deux autres.

Connaissant un des angles d’un triangle isocèle ABC {fig. 55), on connaît les deux autres.

Supposons connu l’angle au sommet A , on aura la somme des deux autres angles B et C en retranchant A de 180 degrés, et la moitié du reste obtenu est la mesure de chacun C des angles B et C , pris sur la base.

Si c’était un des deux angles B ou C pris sur la base, qu’on connût, le double de sa valeur retranché de 1 80 degrés donnerait l’angle au sommet A.