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Les angles d’un triangle équilatéral valent chacun 60 degrés.

Comme un triangle équilatéral n’est autre chose qu’un - triangle isocèle auquel chacun de ses côtés peut également servir de base, ses trois angles sont nécessairement égaux, et valent chacun 60 degrés, tiers de 180 degrés.

Fig. 55 .

PBEMTÙBE PABTIE.

Description de l’hexagone régulier.

Pour trouver une ligne qui partage la circonférence en six parties égales, il faut que cette ligne soit la corde d’un arc de 60 degrés, sixième partie de 360 degrés, valeur de la circonférence entière. Supposant donc que AB ( fig . 56) soit cette corde, et du centre I menant

Fig. sa. aux extrémités A et» B les rayons

- Al et IB , l’angle A1B vaudra 60 degrés ; et parce que les deux côtés AI et IB seront égaux, le triangle G AIB sera isocèle. Donc, l’angle au sommet étant de 60 degrés , chacun des deux autres angles vaudra aussi 60 degrés, moitié de 120 :

donc (70) le triangle AIB sera équi- JVX £ latéral ; donc AB égalera le rayon L du cercle : d’où il suit que , pour

décrire un hexagone, il faudra ouvrir le compas d’un intervalle égal au rayon et le porter six fois de suite sur la circonférence , et l’on aura les six côtés de l’hexagone.

sV u

Le demi-angle au centre de l’hexagone donne l’angle nu centre du dodécagone.

L’hexagone ABCDEF (fig. 56) décrit, on décrira facilement le dodécagone , ou polygone de douze côtés.

Pour cela , on divisera l’arc AKB , ou l’angle AIB , en deux parties égales ; et AK , corde de l’arc AKB , sera un •des côtés du dodécagone. ,

Partager un arc en deux arcs égaux ,

Pour partager l’arc AKB [fig. 56) en deux arcs égaux AK et KB, on fera la même opération que s’il s’agissait de couper la corde AB en deux parties égales; c’est-à-dire que des points A et B , comme centres , et d’un intervalle quelconque, on décrira les arcs MLN, OLP; ensuite, par le point L , section des deux arcs , et par le centre I , on mènera la ligue LI , qui divisera en deux et l’arc AKB et la corde AB.

Description des polygones réguliers de 24, 48, etc., côtés.

En suivant la méthode précédente, on partage d’abord Tare AK {fig. 56) en deux arcs égaux; la corde de l’un ou de l’autre de ces arcs est le côté du polygone de 24 côtés. On aura de même les polygones de 48, 96, 192, etc., côtés.

Description de V octogone régulier.

Pour décrire un octogone régulier, c’est-à-dire un polygone régulier de 8 côtés , on commence par tracer

Fig. 57.

un carré dans le cercle; ce qui se fait eu menant deux diamètres AIB et CIE {fig. 57), qui se coupent à angles droits, et joignant les extrémités par les lignes AC , CB, BE et AE.

En effet, par la régularité du cercle et de l’égalité des quatre angles que forment les perpendicu-

PBEMIÈBE PABTIE. 47

laires AIB et CIE, les quatre côtés AC , CB, BE et EA seront nécessairement égaux, et se trouveront également penchés les uns sur les autres ; ce qui ne pourra convenir qu’au carré.

Le carré ainsi décrit, on divise par la méthode précédente chacun des arcs CKB, BLE , etc., en deux parties égales; ce qui donne l’octogone CKBLEMAN.

En partageant de même chacun des arcs CK , KB, etc. , en 2 , en 4 , en 8 , etc. , parties égales, on aurait les polygones de 16, 32, 64, etc., côtés.