DEUXIEME PARTIE

Autre manière de changer un rectangle en un autre dont la hauteur soit donnée.

Pour changer le rectangle ABCD [fig. 59 ) en un autre rectangle BFEG qui ait une hauteur donnée BF, on peut Fig. 59, employer une méthode moins natur ^ r relie que la précédente, mais plus

commode. Ayant prolongé AD jus- C qu’à ce qu’elle rencontre en I la droite FEl, menée par le point F G ® parallèlement à AB, on tire la diagonale BI, et par le point O, où elle rencontre le côté DC, on mène GOE parallèle à FB ; et le rectangle BFEG est équivalent au rectangle ABCD.

Pour le prouver, il suffît de faire voir qu’en ôtant des rectangles ABCD et BFEG la partie commune OCBG , le rectangle ADOG égale le rectangle EOCF.

Or, si l’on fait attention à l’égalité des deux triangles IBF et IBA, ou verra qu’en retranchant de ces triangles des quantités égales, les restes seront égaux. Mais le triangle IAB deviendra le rectangle ADOG, si l’on en retranche les deux triangles ÏDO et OGB; de même le triangle IBF deviendra le rectangle EOCF, par la suppression des triangles IEO et OBC égaux aux deux premiers : donc les deux rectangles ADOG et EOCF, restes des deux triangles, seront égaux entre eux > aussi bien que les rectangles ABCD et BFEG.

Lorsque deux rectangles sont égaux, la base du premier est à la base du second comme la hauteur du second est à la hauteur du premier.

Gette seconde manière de changer un rectangle jeu

un autre confirme le principe que suppose la première, et qui aurait pu sembler n’être appuyé que sur une simple induction.

De l’égalité des deux rectangles ABCD et BFEG on avait conclu qu’il fallait que AB fût à BG comme BF est à BC; c’est ce qu’on peut maintenant prouver par le numéro précédent

Car, les triangles IAB et OGB étant manifestement semblables, la base AB du grand sera à la base G B du petit comme la hauteur IA est à la hauteur OG, ou comme BF est à BC, leurs égales : donc AB sera à GB comme BF est à BC, conformément au principe du n° 5.

Si quatre lignes sont telles, que la première soit à la seconde comme la troisième est à la quatrième , le rectangle formé par la première et la quatrième sera égal à celui que forment la seconde et la troisième.

On vient de démontrer que de l’égalité des deux rectangles ABCD et BFEG il suit que la hauteur BF est à la hauteur BC comme la base AB est à la base BG ; on démontrerait de la même manière que , lorsque quatre lignes BF, BC , AB et BG sont telles , que la première est à la seconde comme la troisième est à la quatrième , le rectangle qui aurait pour hauteur et pour base la première et la quatrième de ces lignes serait équivalent au rectangle qui aurait pour hauteur et pour base la seconde et la troisième.

Quatre quantités, dont la première est à la seconde comme la troisième est à la quatrième, sont dites former une proportion.

Lorsque quatre quantités , ainsi que les lignes précédentes BF, BC, AB et BG, sont telles, que la première

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sera à la seconde comme la troisième est à la quatrième, on dit que ces quatre quantités sont en proportion ou qu’elles forment une proportion. Ainsi, 6, 9, 18 et 27 sont en proportion , parce que 6 est contenu dans 9 de la même manière que 18 est contenu dans 27. Il en est de même, de 16, 25, 75 et 125, etc.

ÎO.

Des quatre termes d’une proportion, le premier et le * quatrième sont nommés extrêmes; le second et le troisième sont nommés moyens.

La première et la quatrième des quatre quantités d’une proportion s’appellent termes extrêmes ou simplement extrêmes; la seconde et la troisième se nomment termes moiyens ou simplement moyens.

En se servant des définitions précédentes, il est clair que les propositions renfermées dans les n°‘ 7 et 8 s’énonceront ainsi :

fl.

Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Lorsque quatre quantités sont en proportion , le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Si le produit des extrêmes est égal au produit des moyens , les quatre termes forment une proportion.

Si quatre quantités sont telles, que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens, ces quatre quantités seront en proportion.

GEOMETHIB .

ia.

De là on tire la règle de trois, ou la manière de trouver le quatrième terme d'une proportion dont les trois premiers sont donnés.

Il est utile de faire beaucoup d’attention aux n os 1 1 et 12; ils sont d’un grand usage. On en déduit, entre autres choses, la démonstration de la règle qu’on appelle, en arithmétique, règle de trois. Pour donner une idée de cette règle, nous prendrons un exemple.

Supposons que 24 ouvriers aient fait 30 mètres d’ouvrage en un certain temps : on demande combien 64 ouvriers en feront dans un temps égal.

Il est évident que, pour résoudre la question, il faut trouver un nombre qui soit à 64 dans la même raison que 30 est à 24. Or, suivant ce que nous avons vu, ce nombre sera tel, que son produit par 24 égalera le produit de 30 par 64; mais le produit de 30 par 64 est 1920 : donc le nombre cherché sera celui qui , étant multiplié par 24, donnera 1920. Or, pour peu qu’on ait les premières notions des opérations de l’arithmétique, on doit facilement s’apercevoir qu’il faut que ce nombre soit le quotient de la division de 1920 par 24, c’est-à-dire 80.

En général, pour trouver le quatrième terme d’une proportion dont les trois premiers seront donnés , il faudra prendre le produit du second et du troisième, et diviser ce produit par ie premier terme de la proportion.

Autre exemple des règles de trois.

Un exemple aussi simple que celui que nous venons de choisir ne fait peut-être pas assez sentir la nécessité de la méthode précédente. Le bon sens seul ferait trouver le nombre demandé. On voit que 30 surpasse